湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-11-18 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 不等式 $(3 - x) (x + 1) \geq 0$ 的解集为（）

A、 $\{x |- 1 \leq x \leq 3\}$ B、 $\{x |- 1 < x \leq 3\}$ C、 ${x | x > - 1$ 或 $x \leq 3}$ D、 $R$

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2. 函数 $y = \frac{\sqrt{1 - x}}{x - 1}$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1]$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1)$

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3. 下列说法正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$ ，则 $a > b$ C、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ D、若 $b > a > 0$ ，则 $\frac{a + c}{b + c} > \frac{a}{b}$

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4. 下列函数在区间 $(0, 1)$ 上为增函数的是（）

A、 $y = 1 - x$ B、 $y = x^{2} - 2 x$ C、 $y = \sqrt{x}$ D、 $y = \frac{1}{x}$

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5. 幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m}$ 在 $(0, + \infty)$ 上递增，则实数 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、2 D、2或 $- 1$

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6. 寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步.刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了.下图“路程 $s$ 一时间 $t$ ”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 关于 $x$ 的不等式 $(a - 1) x^{2} - a x + a + 1 \geq 0$ 的解集为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a > 1$ B、 $a \geq \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \leq a \leq \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $a \leq - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 或 $a \geq \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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8. 已知定义在 $[a - 1, 2 a]$ 上的偶函数 $f (x)$ ，且当 $x \in [0, 2 a]$ 时， $f (x)$ 单调递减，则关于x的不等式 $f (x - 1) > f (2 x - 3 a)$ 的解集是（）

A、 $(0, \frac{2}{3})$ B、 $[\frac{1}{6}, \frac{5}{6}]$ C、 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]$ D、 $(\frac{2}{3}, \frac{5}{6}]$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列各组函数中，是同一个函数的有（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ 与 $g (x) = \frac{x}{x^{2}}$ B、 $f (x) = x^{2}$ 与 $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ C、 $f (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ 与 $g (x) = | x |$ D、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$

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10. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- \infty, - 2) \cup (3, + \infty)$ ，则（）

A、 $a > 0$ B、不等式 $b x + c > 0$ 的解集是 ${x ∣ x < - 6}$ C、 $a + b + c > 0$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{2})$

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11. 《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为 $a + b$ ，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边 $B C$ 的中点，作直角三角形 $A B C$ 的内接正方形对角线 $A E$ ，过点A作 $A F ⊥ B C$ 于点F，则下列推理不正确的是（）

A、由图1和图2面积相等得 $d = \frac{2 a b}{a + b}$ B、由 $A E \geq A F$ 可得 $\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{4}} \geq \sqrt{\frac{a + b}{2}}$ C、由 $A D \geq A E$ 可得 $\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ D、由 $A D \geq A F$ 可得 $a^{2} + b^{2} \geq a + b$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知集合 $A = \{- 1, 1, 2\}$ ， $B = \{1, 2, 5\}$ ， Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合共有个子集.

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13. 已知定义在区间 $[- 2, 2]$ 上的一个偶函数，它在 $[0,2]$ 上的图象如图，则 $f (x) \leq 0$ 的解集为.

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14. 已知正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + 2 y + x y - 7 = 0$ ，且 $3 t^{2} - 2 t \geq x y - x$ 恒成立，则 $t$ 的取值范围是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.

15. 已知集合 $A = \{x |x^{2} - 3 x - 4 < 0\}$ ， $B = \{x |- 1 < x < m + 1\}$ ，

(1)、当 $m = 0$ 时，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 成立的一个充分不必要条件，求实数m的取值范围.

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16. 求下列函数的解析式

(1)、若 $f (\sqrt{x} + 1) = x + 2 \sqrt{x}$ ，求 $f (x)$ ；

(2)、已知 $f (x)$ 是一次函数，且 $f [f (x)] = 4 x + 3$ ，求 $f (x)$

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17. 世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产 $x$ （百辆），需另投入成本 $C (x)$ （万元），且 $C (x) = \{\begin{cases} 10 x^{2} + 100 x, 0 < x < 40 \\ 501 x + \frac{10000}{x} - 4500, x \geq 40 \end{cases}$ ；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.

(1)、求出2022年的利润 $L (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （百辆）的函数关系式；

(2)、2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

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18. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{x}, - 1 \leq x < 0 \\ x^{2} - 2 x, 0 \leq x \leq 3 \\ - 2 x + 9, 3 < x \leq 4 \end{cases}$

(1)、求 $f (3)$ ， $f (4)$ ， $f (f (1))$ 的值；

(2)、 $f (a) = 1$ ，求a的值；

(3)、请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数 $f (x)$ 的值域（无需写出理由）.

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19. 定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足下面三个条件：①对任意正数 $a$ ， $b$ ，都有 $f (a) + f (b) = f (a b)$ ；②当 $x > 1$ 时， $f (x) < 0$ ；③ $f (2) = - 1$

(1)、求 $f (1)$ 和 $f (\frac{1}{4})$ 的值；

(2)、试用单调性定义证明：函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数；

(3)、若对任意 $x \in [2 ， 3]$ ， $f (4 x^{2} + 4) + 2 < f (a x)$ 恒成立，求的a的范围．

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