广东省深圳市龙岗区龙城高级中学、深圳大学附中2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-11-14 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1. 已知函数 $f (x) = - \frac{1}{\sqrt{1 - x}}$ 的定义域为 $A$ ， $g (x) = ln (1 + x)$ 的定义域为 $B$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |x > - 1\}$ B、 $\{x |x < 1\}$ C、 $\{x |- 1 < x < 1\}$ D、 $\emptyset$

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2. 某校学生2000人，其中高三年级学生500人，为了解学生的身体素质情况，现采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取200人的样本，则该样本中高三学生的人数为（）

A、60 B、50 C、40 D、30

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3. 向量 $\overset{⃑}{a} = (1, - 2)$ 与 $\overset{⃑}{b} = (2, m)$ 垂直，则 $m =$ （）

A、－1 B、1 C、－4 D、4

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4. 四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}, \vec{O M} = \vec{M A}, \vec{B N} = \vec{N C}$ ，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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5. 已知 $f (x)$ 为偶函数，它在 $[0 ， + \infty)$ 上是减函数，若有 $f (\lg x) > f (1)$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{10} ， 10)$ B、 $(0 ， \frac{1}{10}) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{10} ， 1)$ D、 $(0 ， 1) \cup (10 ， + \infty)$

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6. 在 $△ A B C$ 中，已知三个内角为 $A, B, C$ 满足 $sin A : sin B : sin C = 4 : 5 : 6$ ，则三角形的形状（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定

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7. 在区间 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 内，曲线 $f (x) = tanπ x$ 和 $y = 4 x$ 交点间的线段长的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{4}$ C、 $\sqrt{17}$ D、4

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8. 已知直线 $l ： x - y + 4 = 0$ 与x轴相交于点A ，过直线l上的动点P作圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线，切点分别为C ， D两点，记M是 $C D$ 的中点，则 $| A M |$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{17}$ D、3

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9. 若直线 $l$ 不平行于平面 $α$ ，且 $l ⊄ α$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $α$ 内存在一条直线与 $l$ 平行 B、 $α$ 内不存在与 $l$ 平行的直线 C、 $α$ 内所有直线与 $l$ 异面 D、 $α$ 内有无数条直线与 $l$ 相交

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10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（）

A、若 $sin A > sin B$ ，则 $a > b$ B、若 $sin 2 A = sin 2 B$ ，则△ABC为等腰三角形 C、若 $B = 30 °$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $c = 2$ ，则符合条件的三角形有2个 D、若△ABC的面积 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ ，则 $A = \frac{π}{3}$

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11. 已知O为坐标原点，过点 $P (- 5, 0)$ 的直线l与圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 交于A，B两点，M为A，B的中点，下列选项正确的有（）

A、直线l的斜率k的取值范围是 $(- \frac{3}{4}, \frac{3}{4})$ B、点M的轨迹为圆的一部分 C、 $\vec{P O} \cdot \vec{P M}$ 为定值 D、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 为定值

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 两圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y - 2 = 0$ ， $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 1 = 0$ 的公切线有且仅有条．

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13. 已知平面上直线 $l$ 的方向向量 $\vec{e} = (- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ ，点 $O (0, 0)$ 和 $A (1, - 2)$ 在 $l$ 上的射影分别为 $O_{1}$ 和 $A_{1}$ ，则 $\overset{⃑}{O_{1} A_{1}} = λ \vec{e}$ ，其中 $λ =$ .

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14. 在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别是梭 $B C$ 、 $C C_{1}$ 的中点， $P$ 是侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 上的动点，且 $P C_{1} //$ 平面 $A E F$ ，则点 $P$ 的轨迹长为，点 $P$ 到直线 $A F$ 的距离的最小值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $b^{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} b c \sin A + c^{2} = a^{2}$

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $b = 2$ ， $c = 3$ ，求 $a$ 和 $\sin (2 B)$ 的值．

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16. 我校近几年加大了对学生强基考试的培训，为了选择培训的对象，今年我校进行一次数学考试，从参加考试的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组 $[40, 50)$ ，第2组 $[50, 60)$ ，第3组 $[60, 70)$ ，第4组 $[70, 80)$ ，第5组 $[80, 90)$ ，第6组 $[90, 100]$ ，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：

(1)、利用组中值估计本次考试成绩的平均数；

(2)、已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率．

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17. 如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是矩形， $P B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = B C = 3$ ， $B P = 3$ ， $C F = \frac{1}{3} C P$ ， $D E = \frac{1}{3} D A$ ．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B P$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $A D F$ 所成角的余弦值．

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18. 在 $Rt Δ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $B C = 3$ ， $A C = 6$ ， $D, E$ 分别是 $A C, A B$ 上的点，满足 $D E / / B C$ 且 $D E$ 经过 $△ A B C$ 的重心，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使 $A_{1} C ⊥ C D$ ， $M$ 是 $A_{1} D$ 的中点，如图所示．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、在线段 $A_{1} C$ 上是否存在点 $N$ ，使平面 $C B M$ 与平面 $B M N$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，若存在，求出 $C N$ 的长度；若不存在，请说明理由．

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19. 已知定点 $A (3, 1)$ 和直线 $l : x + y = 0$ ，动圆 $C$ 和直线 $l$ 相切，且过点 $A$ 作圆 $C$ 的切线，切线长等于动圆 $C$ 的半径．

(1)、求圆 $C$ 的圆心的轨迹方程．

(2)、当圆 $C$ 的面积最小时，求圆 $C$ 的方程．

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