广东省广州市天天向上联盟（培英中学、113中学、秀全中学、西关外国语中学）2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-11-14 类型：期中考试

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一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x \in N | - 2 \leq x \leq 5}$ ， $B = {2, 4, 6}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$ B、 ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ C、 ${2, 4}$ D、 ${x | - 2 \leq x \leq 6}$

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2. 命题“ $\forall x > 1$ ， $x^{2} - x > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \leq 1$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} \leq 0$ B、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - x \leq 0$ C、 $\exists x_{0} > 1$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} \leq 0$ D、 $\forall x \leq 1$ ， $x^{2} - x \leq 0$

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3. 下列函数中，既是偶函数又在 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是

A、 $y = \sqrt{x}$ B、 $y = - x^{2} + 1$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = |x| + 1$

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4. 给定数集 $A = R, B = (0, + \infty), x, y$ 满足方程 $x^{2} - y = 0$ ，下列对应关系 $f$ 为函数的是（）

A、 $f : A \to B, y = f (x)$ B、 $f : B \to A, y = f (x)$ C、 $f : A \to B, x = f (y)$ D、 $f : B \to A, x = f (y)$

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5. “不等式 $m x^{2} + x + m > 0$ 在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（）

A、 $m > \frac{1}{2}$ B、 $0 < m < 1$ C、 $m > \frac{1}{4}$ D、 $m > 1$

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6. 已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，则 $\frac{2}{a - 1} + \frac{1}{b - 2}$ 的最小值为（）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $1 + \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

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7. 定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对 $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，且 $f (3) = 6$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x} > 2$ 的解集为（）

A、 $(3, + \infty)$ B、 $(0, 3)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ ，若 $\exists x \in [2, + \infty)$ 对 $\forall a \in [- 1, 1]$ 均有 $f (x) < m - 2 a m + 2$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 3, 1)$ B、 $(- \frac{1}{3}, 1)$ C、 $(- 1, \frac{1}{3})$ D、 $(- 1, 3)$

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二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分

9. 若 $a > b > 0$ 且 $c \neq 0$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $a^{3} > b^{3}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c}$ D、 $a c^{2} > b c^{2}$

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10. 我们知道，如果集合 $A \subseteq S$ ，那么 $S$ 的子集 $A$ 的补集为 $∁_{S} A = \{x | x \in S$ 且 $x \notin A\}$ ，类似地，对于集合 $A, B$ 我们把集合 $\{x | x \in A$ 且 $x \notin B\}$ ，叫作集合 $A$ 和 $B$ 的差集，记作 $A - B$ ，例如： $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}, B = \{4, 5, 6, 7, 8\}$ ，则有 $A - B = \{1, 2, 3\}, B - A = \{6, 7, 8\}$ ，下列解答正确的是（）

A、已知 $A = \{4, 5, 6, 7, 9\}, B = \{3, 5, 6, 8, 9\}$ ，则 $B - A = \{3, 7, 8\}$ B、已知 $A = \{x | x < - 1$ 或 $x > 3\}, B = \{x | - 2 \leq x < 4\}$ ，则 $A - B = \{x | x < - 2$ 或 $x \geq 4\}$ C、如果 $A \subseteq B$ ，那么 $A - B = \emptyset$ D、已知全集、集合 $A$ 、集合 $B$ 关系如上图中所示，则 $A - B = A \cap (∁_{U} B)$

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11. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 1 - |x - 2|, 1 \leq x \leq 3 \\ \frac{1}{2} f (x - 2), x > 3 \end{array}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (6) = \frac{1}{4}$ B、关于 $x$ 的方程 $2^{n} f (x) = 1 (n \in N^{*})$ 有 $2 n + 3$ 个不同的解 C、 $f (x)$ 在 $[2 n, 2 n + 1] (n \in N^{*})$ 上单调递减 D、当 $x \in [1, + \infty)$ 时， $x f (x) \leq 2$ 恒成立.

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三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分

12. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x - 2}}{| x | - 3}$ 的定义域为．

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13. 已知幂函数 $y = (m^{2} - 3) x^{m^{2} + m - 3}$ 单调递减，则实数 $m =$ .

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14. 已知 $f (x) = (x^{2} + 2 x) (x^{2} + a x + b)$ ，若对一切实数 $x$ ，均有 $f (x) = f (2 - x)$ ，则 $f (3) =$ .

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四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 集合 $A = \{x |- 6 x^{2} - x + 2 > 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 5 x + 6 \geq 0\}$ ．
（1）求 $A \cup B$ ， $(∁_{R} A) \cap B$ ；
（2）若集合 $C = \{x |2 m < x < 1 - m\}$ ， $C \subseteq B$ ，求 $m$ 的取值范围．

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16. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ ．

(1)、求出当 $x > 0$ 时， $f (x)$ 的解析式；

(2)、如图，请补出函数 $f (x)$ 的完整图象，根据图象直接写出函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、结合函数图象，求当 $x \in [- 3, 1]$ 时，函数 $f (x)$ 的值域．

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{2^{x} - 1} + 1$ 为奇函数，其中 $a$ 为常数．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式和定义域；

(2)、若不等式 $f (x^{2} + 2 x + 2) > f (2)$ 成立，求实数 $x$ 的取值范围．

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18. 党的二十大报告强调，要加快建设交通强国、数字中国．专家称数字交通让出行更智能、安全、舒适．研究某市场交通中，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为 $F = \frac{q}{x}$ ， x为道路密度，q为车辆密度， $F = f (x) = {\begin{array}{l} 100 - 45 \cdot a^{x} ， 0 < x < 40 ， \\ - \frac{7}{8} x + 120 ， 40 \leq x \leq 80 . \end{array}$ 已知当道路密度 $x = 2$ 时，交通流量 $F = 95$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、求a的值；

(2)、若交通流量 $F > 95$ ，求道路密度x的取值范围；

(3)、求车辆密度q的最大值．

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19. 若存在常数k，b使得函数 $F (x)$ 与 $G (x)$ 在给定区间上的任意实数 $x$ 都有 $F (x) \geq k x + b \geq G (x)$ ，则称 $y = k x + b$ 是 $y = F (x)$ 与 $y = G (x)$ 的隔离直线函数．已知函数 $f (x) = x^{2} - x + 1, g (x) = \frac{1}{2} (x - \frac{1}{x}) + 1$ ．

(1)、证明：函数 $y = g (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增．

(2)、当 $x > 0$ 时， $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 是否存在隔离直线函数？若存在，请求出隔离直线函数解析式；若不存在，请说明理由．

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