广东省广州中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-11-13 类型：期中考试

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）

1. 下列各组对象可以构成集合的是（）

A、某中学所有成绩优秀的学生 B、边长为2的正方形 C、比较大的数字 D、著名的数学家

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2. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（）

A、 $y = | x |, y = \sqrt{x^{2}}$ B、 $y = x, y = \frac{x^{2}}{x}$ C、 $y = 1, y = x^{0}$ D、 $y = | x |, y = {(\sqrt{x})}^{2}$

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3. 已知 $f (x + 1) = x^{2} - 2 x + 2$ ，则函数 $f (x)$ 的解析式是（）

A、 $f (x) = x^{2} - 6 x + 3$ B、 $f (x) = x^{2} - 4 x + 5$ C、 $f (x) = x^{2} - 4 x - 5$ D、 $f (x) = x^{2} - 6 x + 10$

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4. 已知a，b为非零实数，且 $a > b$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、 $a^{2} > b^{2}$ C、 $\frac{1}{a b^{2}} > \frac{1}{a^{2} b}$ D、 $\frac{b^{2}}{a} < \frac{a^{2}}{b}$

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5. 已知 $p : x < - 2$ 或 $x > 0 ， q : x > a$ ，且 $q$ 是 $p$ 的充分不必要条件，则a的取值范围是（）

A、 $a \leq 2$ B、 $a \leq 0$ C、 $a > 0$ D、 $a \geq 0$

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6. 某学生从家中出发去学校，走了一段时间后，由于怕迟到，余下的路程就跑步方式前往学校.在下图中纵轴表示该学生离自己家的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} (2 a - 1) x + 4 a, x < 1 \\ x^{2} - a x + 5, x \geq 1 \end{cases}$ 满足对任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则a的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 1]$ B、 $(\frac{1}{2} ， 2]$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[1 ， 2]$

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8. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足，当 $0 < x \leq 2$ 时， $f (x) < 0$ ，当 $x > 2$ 时， $f (x) > 0$ . 不等式 $x f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(- 2, 0) \cup (2, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ D、 $(- 2, 0) \cup (0, 2)$

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二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．）

9. 下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} + 2 x + 1 \geq 0$ B、 $\exists x \in N$ ， 2x＋1为奇数 C、所有菱形的四条边都相等 D、 $π$ 是无理数

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10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 1, x \in Q \\ 0, x \in ∁_{R} Q \end{matrix}$ ，称为狄利克雷函数，则关于 $f (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (\sqrt{2}) = 1$ B、 $f (x)$ 的定义城为 $R$ C、 $\forall x \in R$ ， $f (f (x)) = 1$ D、 $f (x)$ 为偶函数

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11. 已知实数 $a$ 、 $b \in R_{+}$ ，且 $2 a + b = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a b$ 的最小值为 $\frac{1}{8}$ B、 $4 a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{b - 1}{a - 1} \in (0, 2)$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 5) x^{m - 1}$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，则 $m =$ .

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13. 已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ ，则 $x < 0$ 时， $f (x) =$ ．

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14. 已知当 $x \in [a, a + 1]$ 时，函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ 的最大值为 $4$ ，则 $a$ 的值为

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四、解答题（本题共5小题，共77分，第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤）

15. 已知集合 $A = \{x |- 1 \leq x \leq 4\}, B = \{x |- 1 < x < a\}$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A \cap B, A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求 $a$ 的取值范围．

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16. 已知命题 $p : \forall x \in R, m x^{2} - m x + 1 > 0$ ；命题 $q : \exists x \in R, x^{2} + 4 m x + 1 < 0$ .

(1)、若命题 $q$ 为真命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若命题 $p, q$ 中至少有一个为真命题，求实数 $m$ 的取值范围.

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{m x + n}{x^{2} + 1}$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的奇函数，且 $f (1) = 1$

(1)、求 $m, n$ 的值；

(2)、用定义法判定 $f (x)$ 的单调性；

(3)、求使 $f (a - 1) + f (a^{2} - 1) < 0$ 成立的实数 $a$ 的取值范围.

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18. 通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中）经过实验分析得知： $f (t) = \{\begin{array}{l} - t^{2} + 24 t + 100, (0 < t ⩽ 10) \\ 240, (10 < t ⩽ 20) \\ - 7 t + 380, (20 < t ⩽ 40) \end{array}$ ．

(1)、讲课开始后第5分钟与讲课开始后第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？

(2)、讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

(3)、一道比较难的数学题，需要讲解25分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？

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19. 对于函数 $f (x)$ ，若存在 $x_{0} \in R$ ，使 $f (x_{0}) = x_{0}$ 成立，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的不动点.已知函数 $f (x) = a x^{2} + (b + 1) x + (b - 1)$ $(a \neq 0)$ .
（1）当 $a = 1$ ， $b = - 3$ 时，求函数 $f (x)$ 的不动点；
（2）若对任意实数 $b$ ，函数 $f (x)$ 恒有两个相异的不动点，求 $a$ 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若 $f (x)$ 的两个不动点为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) + x_{2} = \frac{- a}{a + 1}$ ，求实数 $b$ 的取值范围.

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