浙江省宁波市七校联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-11-18 类型：期中考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列事件为必然事件的是（）

A、购买两张彩票，一定中奖 B、打开电视，正在播放新闻联播 C、抛掷一枚硬币，正面向上 D、三角形三个内角和为180°

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2. 二次函数 $y = - 2 (x - 1)^{2} + 2$ 的顶点坐标是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(1 ， - 2)$ D、 $(- 1 ， - 2)$

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3. 如图，已知 $⊙ O$ 的半径为3，平面内有一点到圆心 $O$ 的距离为4，则该点可能是（）

A、点 $P$ B、点 $Q$ C、点 $M$ D、点 $N$

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4. 为了解某地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
身高 $x / cm$
$x < 160$
$160 \leq x < 170$
$170 \leq x < 180$
$x \geq 180$
人数
59
261
557
123
根据统计，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于 $170 c m$ 的概率是（）

A、0.32 B、0.55 C、0.68 D、0.87

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5. 下列命题中，正确的命题是（）

A、三角形的外心是三角形三边中垂线的交点 B、三点确定一个圆 C、平分一条弦的直径一定重直于弦 D、相等的两个圆心角所对的两条弧相等

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6. 一次函数 $y = a x + b$ 的图象如图所示，则二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，对称轴为直线 $x = - 1$ ，下列结论错误的是（　　）

A、 $b^{2} > 4 a c$ B、 $a + b + c > 0$ C、 $a - b + c < 0$ D、 $a b c > 0$

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8. 如图，线段 $A B$ 是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于 $\frac{1}{2} A O$ 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线 $M N$ ，交半圆O于点C，交 $A B$ 于点E，连接 $A C$ ， $B C$ ，若 $A E = 1$ ，则 $B C$ 的长是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、6 D、 $3 \sqrt{2}$

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9. 抛物线 $y = a {(x - 1)}^{2} - 2 (a \neq 0)$ ，当 $- 1 \leq x \leq 2$ 时， $y$ 的最大值与最小值的差为 $3$ ，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ 或 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$ 或 $- \frac{3}{4}$

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10. 如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC，OC交于点D，E．设∠A=α，∠C=β（　　）

A、若α+β=70°，则 $\overset{⌢}{D E}$ 的度数为20° B、若α+β=70°，则 $\overset{⌢}{D E}$ 的度数为40° C、若α﹣β=70°，则 $\overset{⌢}{D E}$ 的度数为20° D、若α﹣β=70°，则 $\overset{⌢}{D E}$ 的度数为40°

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二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．

11. 在不透明的口袋中装有5个红球，2个黄球，1个白球，它们除颜色外其余均相同，若从中随机摸一个球，是黄球的概率为.

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12. 已知 $A (2, y_{1})$ 和 $B (3, y_{2})$ 是抛物线 $y = (x - 1)^{2} + k$ 上的两点，则 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的大小关系是.

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13. 一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5cm，水面宽AB＝8，则截面圆心O到水面的距离OC的长是．

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14. 如图， $⊙ O$ 的内接四边形 $A B C D$ 中， $∠ D = 50 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为．

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15. 已知抛物线 $y = x^{2} + 2 x - n$ 与x轴交于A，B两点，抛物线 $y = x^{2} - 2 x - n$ 与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为.

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16. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 6$ ，扇形 $B E F$ 的半径为6，圆心角为 $60 °$ ，则图中阴影部分的面积是（结果保留 $π$ ）．

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三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧．

(1)、该圆弧所在圆的圆心坐标为______；

(2)、求该圆的半径．

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18. 四张卡片上分别标有1，2，3，4，它们除数字外没有区别，现将它们放在不透明的盒子里搅拌均匀，任意从盒子里抽取一张卡片，不放回，再任意抽取第二张卡片．

(1)、请用画树状图或列表的方式求出抽取的两张卡片数字和大于等于5的概率；

(2)、若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字为一奇一偶，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．

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19. 已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 1$ ，当 $- 1 \leq x \leq 4$ 时，求 $y$ 的最大值和最小值.

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20. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ D A E$ 是四边形 $A B C D$ 的一个外角，且 $A D$ 平分 $∠ C A E$ ．

(1)、求证： $D B = D C$ ；

(2)、若 $∠ E A D = 60 °$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，求 $\overset{⌢}{B C}$ 的长度．

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21. 如图，要修建一条截面为抛物线型的隧道，线段 $O E$ 表示水平的路面，根据设计要求： $O E = 10 m$ ，该抛物线的顶点 $P$ 到 $O E$ 的距离为 $9 m$ ．

(1)、请建立合适的平面直角坐标系，并求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

(2)、现需在这一隧道内壁上同一高度处安装照明灯（即在该抛物线上的点 $A$ ， $B$ 处分别安装照明灯）．若要求 $A$ ， $B$ 处的照明灯水平距离为 $5 m$ ，求照明灯的高度．

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22. 如图，已知 $A D$ 是 $⊙ O$ 的直径，B，C是 $A D$ 两侧圆上的动点，且 $A B = A C$ ，过点C作 $C F ∥ B D$ ，交直径 $A D$ 于点F，连结 $C D$ ， $B F ．$

(1)、求证： $B E = C E$ ；

(2)、试判断四边形 $B F C D$ 的形状，并说明理由．

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23. 杭州某地种植有机蔬菜，已知某种蔬菜的销售单价y（元）与销售月份x之间的关系满足 $y = - \frac{2}{3} x + 9$ ，每千克成本z（元）与销售月份x之间的关系如图所示，图象为抛物线，其最低点坐标是 $(6, 1)$ ．（其中x是满足 $1 \leq x \leq 12$ 的整数）

(1)、问：2月份每千克蔬菜成本是多少？

(2)、判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求最大收益．

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24. 如图1，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x + c$ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为 $(- 1, 0)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图2，y轴上存在一点D，使 $⊙ D$ 经过B，C两点，求点D的坐标；

(3)、如图3，连结 $B C$ ，点 $P ($ 不与A，B，C三点重合 $)$ 为抛物线上一动点，连结 $B P$ ，在点P运动过程中，是否能够使得 $∠ P B C = 45 °$ ？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．

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身高 $x / cm$	$x < 160$	$160 \leq x < 170$	$170 \leq x < 180$	$x \geq 180$
人数	59	261	557	123