浙江省杭州市余杭区2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

试卷更新日期：2024-11-26 类型：期中考试

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一、选择题（本题有10小题,每小题3分,共30分.每小题只有一个选项是正确的,不选、多选、错选，均不给分）

1. 下列函数中，属于二次函数的是（）

A、 $y = 2 x^{2} - x$ B、 $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ C、 $y = - \frac{1}{x}$ D、 $y = 3 x - 1$

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2. 下列选项中的事件，属于必然事件的是（）

A、两数相加，和大于其中一个加数 B、若 $x$ 是实数，则 $| x + 1 | ⩾ 1$ C、射击运动员射击一次，命中8环 D、两数相乘，同号得正数

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3. 抛物线 $y = (x - 1)^{2} + 3$ 的顶点坐标是（）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(- 1, - 3)$ C、 $(1, 3)$ D、 $(1, - 3)$

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4. 如图，AB是半圆 $O$ 的直径，点 $C$ 在半圆 $O$ 上， $∠ A B C = 5 5^{°}$ ，则 $∠ A C O$ 的度数是（）

A、 $3 0^{°}$ B、 $3 5^{°}$ C、 $4 0^{°}$ D、 $4 5^{°}$

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5. 笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然.将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B或 $C$ ），再经过第二道门（ $D$ 或 $E$ ）才能出去。已知松鼠可以任意选择一条路线出去，则松鼠通过BD路线出去的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 二次函数 $y = 3 (x - 3)^{2} + 2$ 的图象先向左平移4个单位，再向下平移3个单位，得到一个新的二次函数表达式是（）

A、 $y = 3 (x - 7)^{2} - 1$ B、 $y = 3 (x - 7)^{2} + 5$ C、 $y = 3 (x + 1)^{2} - 1$ D、 $y = 3 (x + 1)^{2} + 5$

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7. 抛物线 $y = x^{2} + 6 x + c$ 与 $x$ 轴只有一个交点，则 $c$ 的值为（）

A、9 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、-9

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8. 如图，在以AB为直径的半圆 $O$ 中，弦 $C D / / A B$ ，若 $∠ C O B = 5 0^{°}$ ，则 $∠ A$ 的度数是（）

A、 $5 0^{°}$ B、 $5 5^{°}$ C、 $6 0^{°}$ D、 $6 5^{°}$

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9. 小颖在研究二次函数y=x²+2x-m²+2m（m为常数）性质时，有以下结论：①对称轴为直线x=-1；②）抛物线与x轴始终有两个交点；③若函数的最小值为-4，则m的值为3；④若x₁<-1<x₂ ， x₁+x₂>-2，则y₁<y₂.则其中正确结论的序号是（）

A、①② B、②③ C、③④ D、①④

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10. 如图，点A，B，C，D，E，F是圆 $O$ 上的六等分点，已知圆 $O$ 的半径是2，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）

11. 抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - x + 2$ 与 $y$ 轴的交点坐标是.

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12. 已知一个箱子里放有3个白球和2个黑球，它们除颜色外其余都相同.现在从箱子中任意摸出一个球，是黑球的概率为.

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13. 如图，在半圆 $O$ 中，直径 $A B = 6$ ，半圆上一点 $C, C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ，若 $B D = 2 O D$ ，则CD的长是.

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14. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象上部分点的坐标 $(x, y)$ 的对应值如下表所示：
x
…
0
1
4
…
y
…
-2
-3
-2

则该二次函数的对称轴是直线 $x =$ .

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15. 如图，在以点 $O$ 为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦AB和小圆交于C，D两点，若 $A C = C D = 2$ ，则小圆半径是.

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16. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3 (a \neq 0)$ 交 $x$ 轴于 $A (- 1, 0), B (3, 0)$ 两点. $P$ 是 $y$ 轴上一点，过点 $P$ 作一条平行于 $x$ 轴的直线，交该抛物线于C，D两点（点C在左边，点 $D$ 在右边）.若 $D P = 4 P C$ ，则点 $C$ 的横坐标是.

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三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）

17. 已知：二次函数表达式为 $y = x^{2} + 2 x - 3$ .求该二次函数图象的顶点坐标，以及与 $x$ 轴的交点坐标。

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18. 已知抛物线的顶点坐标为 $(3, - 1)$ ，且经过点 $(0, 2)$ .

(1)、求该抛物线的表达式.

(2)、请判断点 $A (1, \frac{2}{3})$ 是否在该抛物线上，并说明理由.

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19. 一个封闭的布袋里装有三个大小一样的小球，它们各自标有1个自然数，且这三个自然数是连续的.现从袋子中摸出一个球，记下数字后不放回，再从袋子中摸出一个球，记下数字，经过反复实验，得到两数的积的最大值是30.

(1)、求这三个连续的自然数.

(2)、在得到两数之积的所有事件中，请用树状图或列表求出两数之积大于20的概率

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20. 如图，在6x7的方格纸中，A，B，C均为格点，按要求画图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母.

(1)、找出过A，B，C三点的圆的圆心 $O$ ，连结BO，CO.

(2)、在⊙O上找到点 $P$ ，使得 $∠ B A P = \frac{1}{4} ∠ B O C$ .

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21. 已知函数y=x²-4x+3

(1)、请在上边网格内，画出该函数的大致图象

(2)、请根据该函数图象写出y<3时x的取值范围

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22. 如图，锐角 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O, D$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，连结CD，已知 $C D / / A B$ .

(1)、求证： $\overset{⌢}{B C} = \overset{⌢}{C D}$

(2)、若 $∠ A C B = 6 0^{°}$ ，求 $∠ D A C$ 的度数.

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23. 根据以下素材，探索完成任务：

如何拼制“花朵”
素材1	如图1，矩形方框内是一副现代智力七巧板，它由两个半圆①和⑦，等腰直角三角形②，都含45°角的不规则图形③、直角梯形④、不规则图形⑤，圆⑥组成. 已知半圆①的直径是2，AJ=BK，AB=BC=2AI.
素材2	如图2，矩形POMN内，上面这个智力七巧板恰好能拼成“一朵花”自的形状.
问题解决
任务1	探究板块大小	根据素材1，求AB和KH的长.
任务2	拟定摆放方法	在图2这朵花中，请你分割出七块板的摆放方法（一种即可），并标上序号.
任务3	确定花朵大小	求矩形PQMN的周长

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24. 如图，以点 $A$ 为顶点的抛物线 $y = \frac{1}{2} (x - m)^{2} + k$ 交直线 $A B : y = - \frac{3}{2} x - \frac{1}{2}$ 于另一点 $B$ ，过点 $B$ 作平行于 $x$ 轴的直线，交该抛物线于另一点 $C$ .

(1)、用含 $m$ 的代数式表示 $k$ 的值.

(2)、若 $B C = 2 m + 4$ .
①求该抛物线的函数表达式；
②在直线BC下方的抛物线上，是否存在点 $P$ ，使得 $△ B C P$ 的面积和 $△ A B C$ 的面积比是5：9?若存在，请写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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x	…	0	1	4	…
y	…	-2	-3	-2