浙江省J12共同体联盟校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-11-23 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中只有一项符合题意，请选出并在答题卡上将该项涂黑，不选、多选、错选，均不给分）

1. 下列四个圆形图案中，旋转能与原图形完全重合且旋转角度最少的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 抛物线 $y = - 2 {(x - 3)}^{2} + 1$ 的顶点坐标是（）

A、 $(- 3, - 1)$ B、 $(- 3, 1)$ C、 $(3, - 1)$ D、 $(3, 1)$

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3. 以坐标原点 $O$ 为圆心，10为半径画圆，则点 $P (6, 8)$ 与 $⊙ O$ 的位置关系是（）

A、在 $⊙ O$ 上 B、在 $⊙ O$ 外 C、在 $⊙ O$ 内 D、不能确定

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4. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（）

A、0.618 B、0.620 C、4500 D、1000

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5. 已知点 $(- 2, y_{1})$ ， $(- 1, y_{2})$ ， $(5, y_{3})$ 都在函数 $y = {(x - 3)}^{2} + 1$ 的图象上，则（）

A、 $y_{3} ＜ y_{1} ＜ y_{2}$ B、 $y_{2} ＜ y_{3} ＜ y_{1}$ C、 $y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3}$ D、 $y_{3} ＜ y_{2} ＜ y_{1}$

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6. 如图，点 $A$ 、 $N$ 在半圆 $O$ 上，四边形 $A B O C$ ， $D N M O$ 均为矩形， $B C = a$ ， $M D = b$ ，则 $a$ 、 $b$ 的关系为（）

A、a>b B、a=b C、a<b D、a≤b

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7. 已知二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 与一次函数 $y_{2} = k x + m$ 的图象相交于点 $A (- 2, 4), B (8, 2)$ （如图所示），则能使 $y_{1} < y_{2}$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x < - 2$ B、 $x > - 2$ 或 $x < 8$ C、 $x < - 2$ 或 $x > 8$ D、 $- 2 < x < 8$

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8. 已知 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O, ∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 是 $⊙ O$ 上一点，下列命题正确的是（）

A、若 $C D$ 平分 $A B$ ，则 $C D ⊥ A B$ B、若 $A C + B C = 2 C D$ ．则点 $D$ 在劣弧 $A C$ 上 C、若 $C D ⊥ A B$ ，则 $C D$ 平分 $∠ A C B$ D、若 $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，则 $A C + B C = \sqrt{2} C D$

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9. 如图， $M N$ 是 $⊙ O$ 的直径， $M N = 4$ ， $∠ A M N = 40 °$ ，点 $B$ 为弧 $A N$ 的中点，点 $P$ 是直径 $M N$ 上的一个动点，则 $P A + P B$ 的最小值为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、8

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10. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a, b, c$ 都是正整数）的图象与 $x$ 轴有两个不同的交点 $A (x_{1}, 0), B (x_{2}, 0)$ ．若 $| x_{1} |$ 和 $| x_{2} |$ 都大于1，则下列说法错误的是（）

A、 $b > 2 a$ B、 $a > c$ C、 $a + c > b$ D、 $a b c$ 的最小值是25

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11. 2024年7月26日—8月11日，第三十三届夏季奥运会在巴黎如期举行，比赛期间任意打开一台电视的某一频道，正在播放跳水比赛，这个事件是事件．

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12. 如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为 $2.5 m$ ，地面入口宽为 $1 m$ ，则该门洞的半径为m．

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13. 如图，阴影部分是抛物线 $y = - 2 x^{2} + 2$ 与 $x$ 轴围成的封闭图形，为了估计阴影部分的面积，在矩形 $A B C D$ 中随机产生1000个点，落在阴影部分的点数为700个，则阴影部分面积的近似值为．

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14. 东方商厦将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润，则应降价元．

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15. 已知函数 $y = | x^{2} - 4 |$ 的大致图象如图所示，对于方程 $| x^{2} - 4 | = m$ （m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是．

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16. 如图，等边三角形 $A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，若 $A B = 12, \overset{⌢}{B D}$ 的度数是 $30 °$ ，则 $A D$ 的长为．

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三、解答题（本大题共8小题，计72分．）

17. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，请结合图象写出3个相关的正确结论．

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18. 如图， $⊙ O$ 的弦 $A B, C D$ 相交于点 $E, A B = C D$ ，求证： $A E = C E$ ．

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19. 已知二次函数 $y = x^{2} - (k + 3) x + 3 k$ ．

(1)、若该函数的图象与 $y$ 轴交于点 $A (0, 3)$ ，与 $x$ 轴分别交于点 $B, C$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求证：无论 $k$ 为何值，该函数的图象与 $x$ 轴总有公共点．

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20. 如图，有一个可以自由转动的圆形转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（若指针指在分界线时重转）．

(1)、请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果：

(2)、两次转动转盘，第一次转得的数字记为 $m$ ，第二次记为 $n$ ， $A$ 点的坐标为 $(m, n)$ ，求 $A$ 点在函数 $y = x + 1$ 图象上的概率．

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21. 如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以 $A B$ 为直径的半圆O， $A B = 52 cm, M N$ 为水面截线， $M N = 48 cm, G H$ 为桌面截线， $M N ∥ G H$ ．

(1)、作 $O C ⊥ M N$ 于点C，求 $O C$ 的长；

(2)、将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了 $14 cm$ ，求此时水面截线减少了多少．

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22. 如图所示，一场篮球比赛中，某篮球队员甲的一次投篮命中，篮球运行轨迹为抛物线的一部分．已知篮球出手位置点 $A$ 与篮筐的水平距离为 $5 m$ ，篮筐距地面的高度为 $3 m$ ，当篮球行进的水平距离为 $3 m$ 时，篮球距地面的高度达到最大为 $3.6 m$ ．

(1)、求篮球出手位置点 $A$ 的高度．

(2)、此时，若对方队员乙在甲前面 $1 m$ 处跳起拦截，已知乙的拦截高度为 $3.12 m$ ，那么他能否获得成功？并说明理由．

(3)、若甲在乙拦截时，突然向后后退 $0.2 m$ ，再投篮命中（此时乙没有反应过来，置没有移动），篮球运行轨迹的形状没有变化，且篮球越过乙时，超过其拦截高度 $0.08 m$ ，求篮球出手位置的高度变化．

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23. 如图1，在 $△ A B C$ 中，以 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，已知 $A B = 4$ ， $A E = C E$ ．

(1)、求证： $A B = B C$ ；

(2)、如图2，将点 $B$ 关于 $A C$ 作轴对称得到点 $D$ ，连结 $A D, C D$ ，得到四边形 $A B C D$ ，设 $A E = m$ ．四边形 $A B C D$ 的面积为 $n$ ．
①求 $n$ 关于 $m$ 的函数关系式：
②四边形 $A B C D$ 的面积 $n$ 是否有最大值，若有，请你求出 $n$ 的最大值．

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24. 已知，抛物线 $y = m x^{2} + n x - 1 (m > 0)$ 经过点 $M (2, - 1)$ ．

(1)、求抛物线的对称轴；

(2)、若点 $N (1, - 2)$ 在抛物线 $y = m x^{2} + n x - 1 (m > 0)$ 上，将抛物线向左平移2个单位长度得抛物线 $W$ ．当 $- 2 \leq x \leq 2$ 时，求函数 $W$ 的最大值与最小值．

(3)、抛物线 $y = m x^{2} + n x - 1 (m > 0)$ 与 $x$ 轴交点为 $P, Q$ （点 $P$ 在点 $Q$ 左边）．若 $3 < P Q < 4$ ，求证 $\frac{1}{3} < m < \frac{4}{5}$ ．

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