浙江省杭州市公益中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-11-17 类型：期中考试

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列属于二次函数的是（）

A、 $y = a x^{2} + b x + c$ B、 $y = \sqrt{x}$ C、 $y = a b$ D、 $y = x^{2}$

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2. 如果 $a$ 和 $b$ 都不为零，且 $3 a = 4 b$ ，那么下列比例中正确的是（）

A、 $\frac{a}{b} = \frac{3}{4}$ B、 $\frac{b}{4} = \frac{a}{3}$ C、 $\frac{b}{a} = \frac{4}{3}$ D、 $\frac{a}{4} = \frac{b}{3}$

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3. 将抛物线 $y = - 5 x^{2} + 1$ 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为（）

A、 $y = - 5 {(x - 1)}^{2} - 1$ B、 $y = - 5 {(x - 1)}^{2} - 2$ C、 $y = - 5 {(x + 1)}^{2} - 1$ D、 $y = - 5 {(x + 1)}^{2} + 3$

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4. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的弦， $A B ⊥ C D$ ，垂足为E．若 $O D = 10$ ， $B E = 4$ ，则 $C D$ 的长为（）

A、6 B、16 C、8 D、12

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5. 如图，两条直线 $A C$ 和 $D F$ 被三条平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，若 $A B : B C = 2 : 3$ ， $D E = 3$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、 $4.5$ B、5 C、6 D、8

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6. 如图，在 $3 \times 3$ 的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{4}{7}$ D、 $\frac{5}{7}$

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7. 如图， $E F 、 C D$ 是 $⊙ O$ 的两条直径， $A$ 是劣弧 $\overset{⌢}{D F}$ 的中点，若 $∠ E O D = 32 °$ ，则 $∠ C D A$ 的度数是（）

A、 $37 °$ B、 $74 °$ C、 $53 °$ D、 $63 °$

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8. 图是型号为24英寸（车轮的直径为24英寸，约 $60 cm$ ）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以 $C$ ， $D$ 为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形 $A B C D$ 中 $∠ D A B = 115 °$ ， $∠ A B C = 125 °$ ，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（）

A、 $300 π {cm}^{2}$ B、 $500 π {cm}^{2}$ C、 $900 π {cm}^{2}$ D、 $1200 π {cm}^{2}$

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9. 已知函数 $y = \{\begin{array}{l} x^{2} (x \leq 0) \\ x (x > 0) \end{array}$ ，若 $a \leq x \leq b, m \leq y \leq n$ 则下列说法正确的是（）

A、当 $n - m = 1$ 时， $b - a$ 有最小值 B、当 $n - m = 1$ 时， $b - a$ 无最大值 C、当 $b - a = 1$ 时， $n - m$ 有最小值 D、当 $b - a = 1$ 时， $n - m$ 有最大值

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10. 如图，已知 $⊙ O$ 中，直径 $A F ⊥ B C$ 于点H，点D在 $A B$ 上，且 $∠ A C D = 30 °$ ，过点A作 $A E ⊥ C D$ 于点E，已知 $△ B C D$ 的周长为 $6 \sqrt{3} + 4$ ，且 $B H = 2$ ，则 $⊙ O$ 的半径长为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\frac{7 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{9 \sqrt{2}}{4}$

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二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象经过点 $A (- 1, - 1)$ 、 $B (5, - 1)$ ，那么该二次函数图象的对称轴为直线．

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12. $A B = 10$ ， P是 $A B$ 的黄金分割点， $(B P > A P), B P =$ ．

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13. 在一个不透明的袋子中装有6个白球，m个黑球，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到白球的概率为 $\frac{1}{3}$ ，则m的值为

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14. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 20 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，将 $△ A B C$ 绕 $A$ 点逆时针旋转 $50 °$ 得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，则 $∠ B B^{'} C^{'} =_{.}$ ．

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15. 已知 $⊙ O$ 的直径 $A B = 10$ cm，CD是 $⊙ O$ 的弦， $A E ⊥ C D$ ，垂足为点E， $B F ⊥ C D$ ，垂足为点F，且 $C D = 8$ cm，则 $B F - A E$ 的长为cm．

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ， $C (x_{3}, y_{3})$ 是二次函数 $y = - x^{2} + 4 x - 1$ 图象上三点.若 $0 < x_{1} < 1$ ， $x_{2} > 4$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“ $>$ ”或“ $<$ ”）；若对于 $m < x_{1} < m + 1$ ， $m + 1 < x_{2} < m + 2$ ， $m + 2 < x_{3} < m + 3$ ，存在 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是.

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三、解答题（共8小题，共72分）

17. 如果 $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5}$ ，且 $3 a - 2 b + c = 12$ ，求 $a - b + c$ 的值．

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18. 在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案．
甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影．
（1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；
（2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由）

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19. 如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求△BCD的面积．

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20. 已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC= $2 \sqrt{3}$ ，求CD的长．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ，$ 点D、B、C、E在同一条直线上，且 $∠ D = ∠ C A E$ ．

(1)、求证： $△ A B D ∽ △ E C A$ ；

(2)、若 $A C = 6 ， C E = 4$ ，求 $B D$ 的长度．

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22. 大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市．已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨 $x$ 元（ $x$ 为非负整数），每个月的销售利润为 $y$ 元．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并直接写出自变量 $x$ 的取值范围；

(2)、利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？

(3)、利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？

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23. 已知二次函数y＝mx²﹣2mx+3，其中m≠0．
（1）若二次函数经过（﹣1，6），求二次函数解析式．
（2）若该抛物线开口向上，当﹣l≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为6，求点M和点N的坐标．
（3）在二次函数图象上任取两点（x₁ ， y₁），（x₂ ， y₂），当a≤x₁＜x₂≤a+2时，总有y₁＞y₂ ，求a的取值范围．

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24. 如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是 $\overset{⌢}{A C}$ 上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE于点G，连接CD、CG，且∠CBE＝∠ACG．

(1)、求证：∠CAG＝∠ABE；

(2)、求证：CG＝CD；

(3)、若AB＝4，BC＝2 $\sqrt{13}$ ，求GF的长．

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浙江省杭州市公益中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

一、 选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

二、 填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

三、 解答题（共8小题，共72分）

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

三、解答题（共8小题，共72分）