北京市丰台区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-11-12 类型：期中考试

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一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项.

1. 已知 $\vec{a} = (2, - 1, 1)$ ， $\vec{b} = (4, - 2, x)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 10$ B、 $- 2$ C、2 D、10

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2. 若直线 $l$ 过两点 $(0 ， 0)$ 和 $(1 ， \sqrt{3})$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{2}{3} π$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5}{6} π$ D、 $\frac{π}{6}$

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3. 过点 $A (1 ， 4)$ ，且横、纵截距相等的直线方程为（）

A、 $y = 4 x$ 或 $y = x$ B、 $x + y + 5 = 0$ 或 $y = 4 x$ C、 $x - y + 3 = 0$ 或 $x + y - 5 = 0$ D、 $x + y - 5 = 0$ 或 $y = 4 x$

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4. 已知以点 $(0, 1)$ 为圆心， $2$ 为半径的圆 $C$ ，则点 $M (1, 2)$ 与圆 $C$ 的位置关系是（）

A、在圆内 B、在圆上 C、在圆外 D、无法判断

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5. 如图，在平行六面体 $A B C D - E F G H$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A E} = \vec{c}$ ， $I$ 为线段CH的中点，则 $\vec{A I}$ 可表示为（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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6. 在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，若点 $B (- 1, 2, 3)$ 关于 $y$ 轴的对称点为点 $B^{'}$ ，点 $C (1, 1, - 2)$ 关于 $O y z$ 平面的对称点为点 $C^{'}$ ，则 $\vec{B^{'} C^{'}} =$ （）

A、 $(- 2, - 1, 1)$ B、 $(0, - 3, 5)$ C、 $(2, 1, - 1)$ D、 $(0, 3, - 5)$

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7. 过原点且倾斜角为 $30 °$ 的直线被圆 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 所截得的弦长为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且 $| P A | = | P B |$ ，若直线PA的方程为 $x - y + 1 = 0$ ，则直线PB的方程为（）

A、 $2 x + y - 7 = 0$ B、 $2 x - y - 4 = 0$ C、 $x + y - 5 = 0$ D、 $x + y - 1 = 0$

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9. 在棱长为4的正方体内有一点P，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，记正方体的中心为点O，则OP =（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{6}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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10. 在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足 $\overset{⃑}{A M}$ =x $\overset{⃑}{A B}$ +y $\overset{⃑}{A C}$ -(x+y-1) $\overset{⃑}{A D}$ ，点N满足 $\overset{⃑}{B N}$ =λ $\overset{⃑}{B A}$ +(1-λ) $\overset{⃑}{B C}$ ，当AM、BN最短时， $\overset{⃑}{A M}$ · $\overset{⃑}{M N}$ =（）

A、- $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、- $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y + 9 = 0$ 的圆心坐标为；半径为.

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12. 已知直线 $l ∥ α$ ，且 $l$ 的方向向量为 $(2, m, 1)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $(1, 1, 2)$ ，则 $m =$ .

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13. 已知两平行直线 $l_{1} : x + 2 y - 3 = 0$ ， $l_{2} : 2 x + m y - 1 = 0$ ，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 间的距离是.

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14. 已知 $\vec{A B} = (2, - 1, 3)$ ， $\vec{A C} = (- 1, 1, - 2)$ ， $\vec{A D} = (2, - 1, λ)$ ，若 $A, B, C, D$ 四点共面，则实数 $λ =$ .

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15. 在平面直角坐标系中，定义 $d (A, B) = \max {| x_{1} - x_{2} |, | y_{1} - y_{2} |}$ 为两点 $A (x_{1}, y_{1}),$ $B (x_{2}, y_{2})$ 的“切比雪夫距离”，又设点 $P$ 及直线 $l$ 上任一点 $Q$ ，称 $d (P, Q)$ 的最小值为点 $P$ 到直线 $l$ 的“切比雪夫距离”，记作 $d (P, l)$ .已知点 $P (3, 1)$ 和直线 $l : 2 x - y - 1 = 0$ ，则 $d (P, l)$ =；若定点 $C (x_{0}, y_{0})$ ，动点 $P (x, y)$ 满足 $d (C, P) = r (r > 0)$ ，则点 $P$ 所在的曲线所围成图形的面积是.

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三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 已知直线 $l_{1}$ 过点 $(2 ， 2)$ ，直线 $l_{2}$ ： $y = x$ ．

(1)、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ 与 $x$ 轴和直线 $l_{2}$ 围成的三角形的面积为 $2$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程．

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17. 如图所示，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $\vec{C A} = \vec{a}, \vec{C B} = \vec{b}, \vec{C C_{1}} = \vec{c}$ ， $C A = C B = C C_{1} = 2$ ， $∠ A C B = ∠ A C C_{1} = \frac{2 π}{3}$ ， $∠ B C C_{1} = \frac{π}{2}$ ，点 $N$ 是棱 $A B$ 的中点，点 $M$ 在棱 $C_{1} B_{1}$ 上，且 $C_{1} M = 2 M B_{1}$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示向量 $\vec{A M}$ ；

(2)、求 $|\vec{A M}|$ ；

(3)、求证： $A M ⊥ A_{1} N$ .

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18. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0$ ，圆 $C_{1} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 及点 $P (3, 1)$ .

(1)、判断圆 $C$ 和圆 $C_{1}$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若斜率为 $k$ 的直线 $l$ 经过点 $P$ 且与圆 $C$ 相切，求直线 $l$ 的方程.

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19. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3$ ， $A D = A A_{1} = 2$ ，点 $E$ 在 $A B$ 上，且 $A E = 1$ .

(1)、求直线 $B C_{1}$ 与直线 $C E$ 所成角的大小；

(2)、求直线 $B C_{1}$ 与平面 $A_{1} E C$ 所成角的正弦值；

(3)、若点 $P$ 在侧面 $A_{1} A B B_{1}$ 上，且点 $P$ 到直线 $B B_{1}$ 和 $C D$ 的距离相等，求点P到直线 $A D_{1}$ 距离的最小值．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ， $△ P A D$ 为等腰三角形， $P A = P D = \sqrt{5}$ ， $A D ∥ B C$ ， $A D = C D = 2 B C = 2$ ，点 $E, F$ 分别为棱 $P D, P B$ 的中点．

(1)、求证：直线 $B D //$ 平面 $A E F$ ；

(2)、求直线 $B D$ 到平面 $A E F$ 的距离；

(3)、试判断棱 $P C$ 上是否存在一点G，使平面 $A E F$ 与平面 $A D G$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{35}}{7}$ ，若存在，求出 $\frac{P G}{P C}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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21. 已知圆M的圆心在y轴上，半径为2，且经过点 $A (- 2, 2)$ .

(1)、求圆M的标准方程；

(2)、设点 $D (0, 1)$ ，过点D作直线 $l_{1}$ ，交圆M于P，Q两点（P，Q不在y轴上），过点D作与直线 $l_{1}$ 垂直的直线 $l_{2}$ ，交圆M于E，F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值.

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