北京市大兴区2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题

试卷更新日期：2024-11-09 类型：期中考试

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 直线 $x + y - 1 = 0$ 的倾斜角的正切值为（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $0$ D、 $2$

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2. 已知两个向量 $\vec{a} = (1, - 1, 1), \vec{b} = (2, m, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $4$ D、 $6$

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3. 过点 $M (- 2, a)$ ， $N (a, 4)$ 的直线的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，则 $| M N | =$ （）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $4$ D、 $4 \sqrt{2}$

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4. 圆 $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ 关于 $x$ 轴对称的圆的方程为（）

A、 $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ B、 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 1$ C、 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ D、 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$

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5. 若 $\overset{⃑}{d} = (1, 1, - 2)$ 是直线 $l$ 的方向向量， $\overset{⃑}{n} = (- 1, 3, 0)$ 是平面 $α$ 的法向量，则直线 $l$ 与平面 $α$ 的位置关系是（）

A、直线 $l$ 在平面 $α$ 内 B、平行 C、相交但不垂直 D、垂直

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6. 已知直线 $x + 2 y - 4 = 0$ 与直线 $2 x + m y + m + 3 = 0$ 平行，则它们之间的距离为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{2}$

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7. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ B A D = ∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60^{\circ}$ ，则 $A C_{1}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $3$ D、 $6$

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8. 已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ，过直线 $3 x + 4 y - 10 = 0$ 上的动点 $P$ 作圆 $O$ 的一条切线，切点为 $A$ ，则 $|P A|$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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9. 已知点C（2，0），直线kx－y＋k=0（k≠0）与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ 交于A，B两点，则“△ABC为等边三角形”是“k=1”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 如图，放在平面直角坐标系中的“太极图”整体是一个圆形，且黑色阴影区域与白色区域关于原点中心对称，其中黑色阴影区域在 $y$ 轴右侧部分的边界为一个半圆. 已知直线 $l : y = a (x - 2)$ . 给出下列四个结论：
①当 $a = 0$ 时，若直线 $l$ 截黑色阴影区域所得两部分面积记为 $S_{1} ， S_{2} (S_{1} \geq S_{2})$ ，则 $S_{1} : S_{2} = 3 : 1$ ；
②当 $a = - \frac{4}{3}$ 时，直线 $l$ 与黑色阴影区域有 $1$ 个公共点；
③当 $a \in [- 1, 1]$ 时，直线 $l$ 与黑色阴影区域的边界曲线有 $2$ 个公共点．
其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 已知 $A (1, 1)$ ， $B (2, 2)$ ， $C (0, n)$ 三点共线，则 $n =$ ．

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12. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + a = 0$ ，则圆心 $C$ 坐标为，当圆 $C$ 与 $y$ 轴相切时，实数 $a$ 的值为.

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13. 已知平面 $α$ 过点 $O (0, 0, 0), A (2, 2, 0), B (0, 0, 2)$ 三点，直线 $l$ 与平面 $α$ 垂直，则直线 $l$ 的一个方向向量的坐标可以是．

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14. 直线 $x - 2 y + 2 = 0$ 和 $2 x + y - 6 = 0$ 与两坐标轴正半轴围成的四边形的面积为．

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15. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点， $F$ 为棱 $C C_{1}$ （含端点）上的动点，给出下列四个结论：
①存在 $F$ ，使得 $B F ⊥ D E$ ；
②存在 $F$ ，使得 $B_{1} F / /$ 平面 $A_{1} E D$ ；
③当 $F$ 为线段 $C C_{1}$ 中点时，三棱锥 $A_{1} - E F D$ 的体积最小；
④当 $F$ 与 $C_{1}$ 重合时，直线 $E F$ 与直线 $A_{1} D$ 所成角的余弦值最小.
其中所有正确结论的序号是．

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三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 已知平面内两点 $A (8, - 6), B (2, 2)$ .
（1）求 $A B$ 的中垂线方程；
（2）求过点 $P (2, - 3)$ 且与直线 $A B$ 平行的直线 $l$ 的方程．

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17. 已知圆 $C$ 的半径为2，圆心在 $x$ 轴的正半轴上，直线 $3 x + 4 y + 4 = 0$ 与圆 $C$ 相切.
（1）求圆 $C$ 的标准方程.
（2）求直线 $l$ ： $x - 2 y + 2 = 0$ 与圆 $C$ 相交的弦长.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B ⊥ A D$ ，且 $P A = A B = B C = \frac{1}{2} A D = 2$ ．

(1)、求直线 $P B$ 与直线 $C D$ 所成角的大小；

(2)、求直线PD与平面PAC所成角的正弦值．

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19. 已知圆 $C$ 过 $A (4, 1), B (0, 1), M (2, 3)$ 三点，直线 $l : y = x + 2$ ．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、求圆 $C$ 关于直线 $l$ 对称的圆 $C^{'}$ 的方程；

(3)、若 $P$ 为直线 $l$ 上的动点， $Q$ 为圆 $C$ 上的动点， $O$ 为坐标原点，求 $| O P | + | P Q |$ 的最小值．

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20. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是正方形，Q为PD的中点， $P A ⊥ A D$ ， $P A = A B = 2$ ，再从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知．

(1)、求证： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $A C Q$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值；

(3)、求点 $B$ 到平面 $A C Q$ 的距离．
条件①：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；
条件②： $P A ⊥ A B$ ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

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21. 已知圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} - 12 x - 14 y + 60 = 0$ 及其上一点 $A (2 ， 4)$ ．

(1)、若圆 $N$ 与 $x$ 轴相切，与圆 $M$ 外切，且圆心 $N$ 在直线 $x = 6$ 上，求圆 $N$ 的标准方程；

(2)、设过点 $A$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 相交的另一交点为 $B$ ，且 $△ A B M$ 为直角三角形，求 $l$ 的方程；

(3)、设动点 $T (t ， 0)$ ，若圆 $M$ 上存在 $P ， Q$ 两点，使得 $\vec{T A} + \vec{T P} = \vec{T Q}$ ，求实数 $t$ 的取值范围．

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