广东省深圳市福田区红岭教育集团2024-2025学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2024-11-25 类型：期中考试

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一、选择题（每题3分,共24分）

1. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则实数 $c$ 的值为 $()$

A、16 B、4 C、-4 D、-16

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3. 福田区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表。根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（）
累计抽测的学生数n
100
200
300
400
500
600
800
近视学生数与n的比值
0.423
0.410
0.400
0.401
0.413
0.409
0.410

A、0.423 B、0.400 C、0.413 D、0.410

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4. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 1, 2) 、 B (- 3, - 1)$ ，以原点O为位似中心，相似比为2，把 $△ A B O$ 放大，则点A的对应点 $A^{^{'}}$ 的坐标是（）

A、（-2，4） B、（-6，-2） C、（-2，4）或（2，-4） D、（-6，-2）或（6，2）

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5. 在同一平面直角坐标系中，函数 $y = - k x + k$ 与 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的大致图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BA延长线一点，CE交AD于点F，下列各式中可能错误的是（）

A、 $\frac{A E}{A B} = \frac{F E}{F C}$ B、 $\frac{A E}{A B} = \frac{A F}{D F}$ C、 $\frac{A E}{B E} = \frac{A F}{A D}$ D、 $\frac{B E}{B C} = \frac{C F}{D F}$

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7. 每年春秋季节，流感盛行，极具传染性。如果一人得流感，不加干预，经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人?设每人每轮平均感染x人，则下列方程正确
的是（）

A、（x+1）²=81 B、1+x+x²=81 C、1+x+（x+1）²=81 D、1+（x+1）+（1+x）²=81

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8. 如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，M是CD的中点，连接GM，若正方形ABCD的边长为8，则GM的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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二、填空题（每题3分,共15分）

9. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{3 a - b}{2 b} =$

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10. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度。如图，是用“矩”测量一个5G信号塔高度的示意图，点A，B，N在同一水平线上，∠ABC和∠ANM均为直角，AM与BC交于点D，测得AB=40cm，BD=30cm，BN=22m，则信号塔MN的高度为m.

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11. 如图，将矩形ABCD对折，使AB与CD边重合，得到折痕MN，再将点A沿过点D的直线折叠到MN上，对应点为A’，折痕为DE，AB=10，BC=6，则AW的长度为

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12. 如图，点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k \neq 0$ ）的图象上，且点 $A$ 是线段 $O B$ 的中点，点 $D$ 为 $x$ 轴上一点，连接 $B D$ 交反比例函数图象于点 $C$ ，连接 $A C$ ，若 $B C ： C D = 2 ： 1$ ， $S_{△ A D C} = \frac{10}{3}$ ，则 $k$ 的值为．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 为边AB上一点，连接CD.点 $E$ 为CD中点，连接BE，若 $∠ C D B = ∠ C B D = 3 0^{°}, ∠ A C D = ∠ E B D, A C = \sqrt{7}$ ，则BE的长为.

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三、解答题（共61分）

14. 解方程： $x^{2} + 2 x - 24 = 0$

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15. 2024年10月，红岭中学举行了第十三届创意运动会，其中田赛共设置跳高、跳远、铅球三个项目.赛后随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查整理后得到下列不完整的图表：
等级
A
B
C
D
分数段
90-100
80-89
70-79
60-69
频数
440
280
m
40
请根据表中提供的信息，解答下列问题：

(1)、此次调查共抽取了名选手，m= ， n=

(2)、扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是度：

(3)、赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到跳高和跳远冠军的概率，

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16. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个

(1)、若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱?

(2)、因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率.

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17. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点 $O$ ，延长CB到点 $E$ ，使得 $B E = B C$ .连接AE.过点 $B$ 作 $B F / / A C$ ，交AE于点 $F$ ，连接OF

(1)、求证：四边形AFBO是矩形：

(2)、若∠E=30°，OF=2，求菱形ABCD的面积.

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18. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为"倍根方程".例如，一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两个根是 $x_{1} = 2$ 和 $x_{2} = 4$ ，则方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 是"倍根方程".

(1)、根据上述定义，一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ （填"是"或"不是"）"倍根方程"；

(2)、若点 $(p, q)$ 在双曲线 $y = \frac{2}{x}$ 上，请说明关于 $x$ 的方程 $p x^{2} + 3 x + q = 0$ 是"倍根方程"；

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19. 【综合实践】
如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔棉在井上汲水的情境（杜杆原理：阻力 $\times$ 阻力臂=动力 $\times$ 动力臂，如图1，即 $F_{A} \times L_{1} = F_{B} \times L_{2}$ ），受枯棉的启发，小杰组装了如图所示的装置.其中，杜杆可绕支点 $O$ 在坚直平面内转动，支点 $O$ 距左端 $L_{1} = 1 m$ ，距右端 $L_{2} = 0.4 m$ ，在杠杆左端悬挂重力为80N的物体 $A$ .

(1)、若在杜杆右端挂重物 $B$ ，杜杆在水平位置平衡时，重物 $B$ 所受拉力为N.

(2)、为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物 $B$ 的质量变化时， $L_{2}$ 的长度随之变化.设重物 $B$ 的质量为 $x N, L_{2}$ 的长度为 $y c m$ .则：
① $y$ 关于 $x$ 的函数解析式是 ▲ .
②完成下表：
x/N
…
10
20
30
40
50
…
y/cm
…
8
a
$\frac{8}{3}$
2
b
…
a= ▲ b= ▲ .
③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象.

(3)、在（2）的条件下，若点 $A$ 的坐标为 $(20, 0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(0, 2)$ ，在（2）中所求函数的图象上存在点 $C$ ，使得 $S_{△ A B C} = 46$ ，请直接写出所有满足条件的点 $C$ 的坐标.

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20. 如图

(1)、【问题背景】已知D、E分别是 $△ A B C$ 的AB边和AC边上的点，且 $D E / / B C$ ，则 $△ A B C ~ △ A D E$ ，把 $△ A D E$ 绕着 $A$ 逆时针方向旋转，连接BD和CE.
①如图2，找出图中的另外一组相似三角形
②若AB=8，AC=6，BD=4，则CE=

(2)、【迁移应用】如图3，在Rt $△ A B C$ 和Rt $△ A D E$ 中， $∠ B A C = ∠ D A E = 9 0^{°}, ∠ A B C = ∠$ $A D E, A B = 6, A C = 8$ ，点 $D$ 是线段BC上一动点，连接EC
①请求出 $\frac{E C}{B D}$ 的值及 $∠ D C E$ 的度数，并说明理由.
②如图4，点 $P$ 是DE的中点，在点 $D$ 从 $B$ 点运动到 $C$ 点的过程中，请直接写出点 $P$ 经过的路径长.

(3)、【创新应用】如图5： $A B = A C = A E = 2 \sqrt{5}, B C = 4, △ A D E$ 是直角三角形， $∠ D A E =$ $9 0^{°}, \frac{A D}{A E} = \frac{1}{2}$ ，将 $△ A D E$ 绕若点 $A$ 旋转，连接BE，F是BE上一点， $\frac{B F}{B E} = \frac{2}{5}$ ，连接CF，求CF的取值范围.

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累计抽测的学生数n	100	200	300	400	500	600	800
近视学生数与n的比值	0.423	0.410	0.400	0.401	0.413	0.409	0.410

等级	A	B	C	D
分数段	90-100	80-89	70-79	60-69
频数	440	280	m	40

x/N	…	10	20	30	40	50	…
y/cm	…	8	a	$\frac{8}{3}$	2	b	…