上海市闵行区六校联合教研2024-2025学年高三上学期数学期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-11-14 类型：期中考试

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一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分.

1. 已知全集 $I = R$ ，集合 $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ ， $B = {x |x > 2}$ ，则 $A \cap B =$ .

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2. 函数 $y = x^{2} + x$ 在 $x = 1$ 处的导数是.

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3. 已知 $k > 0$ ，函数 $y = \sin (k x + \frac{π}{4})$ 的最小正周期是 $π$ ，则正数 $k$ 的值为.

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4. 函数 $y = 2 \sin (x + \frac{π}{6}) + 1$ 的单调递增区间是.

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5. 设 $a$ 是实数，若函数 $y = \frac{2^{x} + a}{2^{x} + 1}$ 为奇函数，则 $a =$ .

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6. 设集合 $\{x | x^{2} + 2 x + a = 0\}$ 有且只有两个子集，则 $a =$ .

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7. 设 $f (x)$ 是以2为周期的函数，且当 $x \in [1,3)$ 时， $f (x) = x - 2$ 则 $f (- 1) =$ .

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8. 若“ $x^{2} - 3 x + 2 < 0$ ”是“ $x < a$ ”的充分条件，则 $a$ 的最小值为.

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9. 若将函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则 $φ =$ ．

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10. 函数 $y = |x - 1| + |x|, x \in [a, 2]$ 的最大值为3，则 $a$ 的取值范围为.

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11. 已知定义在 $(- 3, 3)$ 上的奇函数 $y = f (x)$ 的导函数是 $f^{'} (x)$ ，当 $x \geq 0$ 时， $y = f (x)$ 的图象如图所示，则关于x的不等式 $\frac{f^{'} (x)}{x} > 0$ 的解集为.

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - \frac{8}{x} & x < 0 \\ | x - a | & x \geq 0 \end{array}$ ，若对任意的 $x_{1} \in [2 ， + \infty)$ ，都存在 $x_{2} \in [- 2 ， - 1]$ ，使得 $f (x_{1}) \cdot f (x_{2}) \geq a$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分.

13. 若实数 $a, b$ 满足 $a > 0 > b$ ，则（）

A、 $a - b < 0$ B、 $a + b > 0$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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14. 若幂函数 $f (x) = x^{a}$ 为奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则满足条件的实数 $a$ 的值是（）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、3 D、4

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15. 下列命题错误的是（）

A、 ${(\frac{a + b}{2})}^{2} \geq a b$ B、若 $a + b = 1$ ，且 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$ C、若 $a > 1$ ，则 $a + \frac{1}{a - 1} \geq 2$ D、若 $|x - 2| + |x + 3| \geq 5$ ，则当且仅当 $x \in (- \infty, - 3] \cup [2, + \infty)$ 时，等号成立

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16. 数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边.若 $\frac{1 - \sqrt{3} \cos B}{\sqrt{3} \sin B} = \frac{1}{\tan C}$ ， $b = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积 $S$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17. （1）已知 $\sin θ = \frac{4}{5}$ ， $θ$ 为第二象限角，求 $\cos (θ - \frac{π}{6})$ 和 $\cos (\frac{π}{2} - 2 θ)$ 的值；
（2）在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $A + C = 2 B$ ， $a + c = 8$ ， $a c = 15$ ，求 $△ A B C$ 的面积和边 $b$ .

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ ， $x \in (- 1, 1)$ .

(1)、①判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并用定义证明；
②判断函数 $f (x)$ 的单调性，无需说明理由；

(2)、若 $f (t^{2} - 1) < - f (t)$ 恒成立，求 $t$ 的取值范围.

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19. 某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为 $50$ 米、圆心角为60°的扇形 $O A B$ 草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点 $M$ 、 $N$ 在线段 $O B$ 上，另两个顶点 $P$ 、 $Q$ 分别在弧 $A B$ 、线段 $O A$ 上.

(1)、若 $∠ P O N = 45 °$ ，求此红旗图案的面积 $S$ ；（精确到 $1 m^{2}$ ）

(2)、求组成的红旗图案的最大面积.（精确到 $1 m^{2}$ ）

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20. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 3 x + 2 > 0$ 的解集为 $\{x |x < 1$ 或 $x > b\}$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且满足 $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1$ 时，有 $2 x + y \geq k^{2} + k + 2$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围；

(3)、关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 2 (m + 1) x + 2 b m \leq 0$ 的解集中恰有5个正整数，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = (\sqrt{x} + a) e^{x} (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 是增函数，求a的取值范围；

(3)、证明： $f (x)$ 有最小值，且最小值小于 $f (1)$ ．

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