广东省湛江市2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-11-12 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

查看试题解析
2. 已知集合 $A = \{x |1 < 3^{2 x - 1} < 243\}, B = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
3. $(4 - 3 i) (2 - 3 i) =$ （）

A、 $17 - 18 i$ B、 $- 1 - 18 i$ C、 $- 1 + 6 i$ D、 $17 + 12 i$

查看试题解析
4. 将某学校一次物理测试学生的成绩统计如下图所示，则估计本次物理测试学生成绩的平均分为（同一组数据用该组区间的中点值作代表）（）

A、68 B、70 C、72 D、74

查看试题解析
5. 已知 $α, β$ 均为锐角，若 $tan α = \frac{1}{3}, cos β = \frac{4}{5}$ ，则 $cos (α + β) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{9 \sqrt{10}}{50}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

查看试题解析
6. 中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为 $36 π$ 的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为 $81 π$ 的圆锥，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{2}{9}$

查看试题解析
7. 已知某条线路上有 $A, B$ 两辆相邻班次的 $BRT$ （快速公交车），若 $A$ 准点到站的概率为 $\frac{1}{3}$ ，在B准点到站的前提下 $A$ 准点到站的概率为 $\frac{3}{4}$ ，在 $A$ 准点到站的前提下B不准点到站的概率为 $\frac{7}{16}$ ，则B准点到站的概率为（）

A、 $\frac{5}{16}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{3}{8}$

查看试题解析
8. 已知 $a > 1$ ，若关于 $x$ 的方程 $(\sqrt[x]{a} - 1) ln a + x ln x = 0$ 有两个不同的正根，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(1, e^{e})$ B、 $(e^{e}, + \infty)$ C、 $(1, e^{\frac{1}{e}})$ D、 $(e^{\frac{1}{e}}, + \infty)$

查看试题解析

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知直线 $l, m, n$ 是三条不同的直线， $α, β$ 为两个不同的平面，则（）

A、若 $l$ $//$ $m, l$ $//$ $n, m \subset α, n \subset α$ ，则 $l$ $//$ $α$ B、若 $l ⊥ α, l$ $//$ $m, m ⊄ β, α ⊥ β$ ，则 $m$ $//$ $β$ C、若 $l ⊥ m, l ⊥ n, m \subset α, n \subset α$ ，则 $l ⊥ α$ D、若 $l$ $//$ $α, l \subset β, α \cap β = m, m$ $//$ $n$ ，则 $l$ $//$ $n$

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = 3 cos (3 x - \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{2 π}{3}$ B、 $(\frac{2 π}{9}, 0)$ 为 $f (x)$ 的图象的一个对称中心 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]$ 上单调递增 D、将 $f (x)$ 的图象的横坐标伸长为原来的3倍后得到 $g (x)$ 的图象，则曲线 $y = g (x)$ 与直线 $y = x$ 有4个交点

查看试题解析
11. 已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F, A$ 为 $C$ 上第一象限的点，且 $|A F| = 2$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，圆 $E : x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ ，则（）

A、 $|O A| = \sqrt{5}$ B、若 $|P Q| = 6$ ，则直线 $l$ 倾斜角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、若 $△ O P Q$ 的面积为6，则直线 $l$ 的斜率为 $\pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ D、过点 $A$ 作圆 $E$ 的两条切线，则两切点连线的方程为 $x - 2 y + 2 = 0$

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, σ^{2})$ ，若 $P (X > 8) = 0.2$ ，则 $P (- 2 \leq X \leq 3) =$ .

查看试题解析
13. 若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 6 x + 4, x \geq 1 \\ a x - 2, x < 1 \end{array}$ 存在最小值，则实数 $a$ 的取值范围为.

查看试题解析
14. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的焦距为 $2 c$ ，直线 $l : \frac{x}{c} + \frac{a y}{b c} = 1$ 与 $C$ 的交点为 $A$ ，若点 $A$ 到 $C$ 的左焦点的距离不小于点 $A$ 到 $C$ 的右焦点的距离的5倍，则C的离心率最大值为.

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 如图，四棱锥 $S - A B C D$ 的底面四边形 $A B C D$ 为矩形， $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ S A D$ 为等腰直角三角形， $E$ 为棱 $S D$ 的中点.

(1)、证明：平面 $A B E ⊥$ 平面 $S C D$ ；

(2)、若 $S A = A B = 2$ ，求直线 $B E$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值.

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (λ + 3) x + λ ln x$ .

(1)、若 $λ = - 3$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 既有极大值，又有极小值，求实数 $λ$ 的取值范围.

查看试题解析
17. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(- \sqrt{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}), (1, \frac{3}{2})$ .

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、已知过点 $M (- 1, 1)$ 的直线 $l$ 与 $E$ 交于 $A, B$ 两点，若 $|M A| \cdot |M B| = \frac{10}{7}$ ，求直线 $l$ 的方程.

查看试题解析
18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{b^{2}}{a^{2}} = 1 + sin 2 C$ ， $0 < C < \frac{3 π}{4}$ .

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{2}$ ，求 $3 b + 4 \sqrt{2} c$ 的最大值；

(3)、若 $a c = 2 \sqrt{10}$ ，且 $\frac{sin C}{sin B} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

查看试题解析
19. 若数列 $\{b_{n}\}$ 满足：① $b_{n} \in N^{*}$ ；②当 $b_{n}$ 为奇数时， $b_{n + 1} - b_{n} = 3$ ；③当 $b_{n}$ 为偶数时， $\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{1}{2}$ ，则称数列 $\{b_{n}\}$ 具有“收缩性质”.已知数列 $\{a_{n}\}$ 具有“收缩性质”.

(1)、若 $a_{4} = 1$ ，求 $a_{1}$ 的值构成的集合；

(2)、若 $\exists m \in N^{*}$ ，使得 $a_{m} = 3 k (k \in N^{*})$ ，证明： $\forall n \in N^{*}, \frac{a_{n}}{3}$ 为整数；

(3)、若 $\exists p \in N^{*}, \forall n \in N^{*}, a_{n + p} = a_{n}$ ，求 $a_{1}$ 的值构成的集合.

查看试题解析