广东省佛山市南海区第一中学2024-2025学年高一上学期第一次阶段测试数学试题

试卷更新日期：2024-11-19 类型：月考试卷

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{x ∣ (x + 1) (x - 1) (x - 2) = 0\}$ ，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A、 ${0, 3, 4}$ B、 ${0, 1, 3, 4}$ C、 ${0, 2, 3, 4}$ D、 ${3, 4}$

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2. 不等式 ${(x + 3)}^{2} < 1$ 的解集是（）

A、 ${x | x > - 2}$ B、 ${x | x < - 4}$ C、 ${x | - 4 < x < - 2}$ D、 ${x | - 4 \leq x \leq - 2}$

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3. 下列各组函数是同一个函数的是（）

A、 $y = \frac{x^{3} + x}{x^{2} + 1}$ 与 $y = x$ B、 $y = \sqrt{{(x - 1)}^{2}}$ 与 $y = x - 1$ C、 $y = \frac{x^{2}}{x}$ 与 $y = x$ D、 $y = \frac{|x|}{x}$ 与 $y = 1$

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4. 在平面直角坐标系中，集合 $C = \{(x, y) |y = x\}$ 表示直线 $y = x$ 上的所有点，从这个角度看，若有集合 $D = \{(x, y) |\{\begin{cases} y = x \\ x^{2} + y = 2 \end{cases}\}$ ，则集合 $C$ 、 $D$ 之间有什么关系？（）

A、 $C \subseteq D$ B、 $D \subseteq C$ C、 $C \in D$ D、 $D \in C$

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5. 已知集合 $A = {x | x = 3 k + 1, k \in N}$ ， $B = {x | x = 6 z + 1, z \in N}$ ，则（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $B \subseteq A$ C、 $A = B$ D、 $A \cup B = N$

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6. 下列命题的否定是真命题的是（）

A、 $\exists m \in N ， \sqrt{m^{2} + 1} \in N$ B、菱形都是平行四边形 C、 $\exists a \in R$ ，一元二次方程 $x^{2} - a x - 1 = 0$ 没有实数根 D、平面四边形 $A B C D$ ，其内角和等于360°

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7. 已知不等式 $x^{2} - a x + 4 \geq 0$ 对于任意的 $x \in [1, 3]$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 5]$ B、 $[5, + \infty)$ C、 $(- \infty, 4]$ D、 $[4, + \infty)$

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8. 若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - (a + 1) x + a < 0$ 的解中，恰有3个整数，则实数 $a$ 应满足（）

A、 $4 < a < 5$ B、 $- 3 < a < - 2$ 或 $4 < a < 5$ C、 $4 < a \leq 5$ D、 $- 3 \leq a < - 2$ 或 $4 < a \leq 5$

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二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列几个关系中不正确的是（）

A、 $0 = \{0\}$ B、 $0 \in \{0\}$ C、 $\emptyset \subseteq \{0\}$ D、 $\emptyset = \{0\}$

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10. 已知集合 $M = {x ∣ x < 2}, N = {x ∣ y = \sqrt{- x + 5}}$ ，则（）

A、 $M \supseteq N$ B、 $M \cup N = M$ C、 $M \cap N = M$ D、 $(∁_{R} M) \cap N = \{x ∣ 2 \leq x \leq 5\}$

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11. 已知关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集是 ${x | 1 < x < 2}$ ，则（）

A、 $a < 0$ B、 $4 a + 2 b + c = 0$ C、 $9 a + 3 b + c < 0$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集是 ${x | - 1 < x < - \frac{1}{2}}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

12. 已知 $f (2 x + 1) = 3 x - 5, f (3) =$ _____________．

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13. 函数 $y = \sqrt{- 2 x^{2} + 12 x - 18}$ 的定义域为．

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14. 已知正数 $x$ ， $y$ 满足 $x + y = 1$ ，则 $\frac{3 x + 1}{x y}$ 的最小值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 设集合 $U = {x ∣ x \leq 5} ， A = {x ∣ 1 \leq x \leq 2} ， B = {x ∣ - 1 \leq x \leq 4}$ ．求：

(1)、 $A \cap B$ ；

(2)、 $∁_{U} (A ∪ B)$ ；

(3)、 $(∁_{U} A) ∩ (∁_{U} B)$

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16. 已知命题P： $\forall x \in R$ ，使x²﹣4x+m $\neq$ 0为真命题．

(1)、求实数m的取值集合B；

(2)、设 $A ＝ \{x | 3 a ＜ x ＜ a + 4\}$ 为非空集合，若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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17. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x$ ， $a \in (0 ， 1)$ .

(1)、若 $f (1) = 1$ ，且 $b > 0$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值；

(2)、若 $f (1) = - 1$ ，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) + 1 > 0$ 的解集.

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18. 进口博览会是一个展示各国商品和服务的盛会，也是一个促进全球贸易和交流的重要平台.某汽车生产企业想利用2023年上海进口博览会这个平台，计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产 $x$ （百辆），需投入流动成本 $C (x)$ （万元），且 $C (x) = {\begin{array}{l} 10 x^{2} + 2000 x ， 0 < x < 28 ， \\ 2504 x + \frac{3600}{x} - 6400 ， x \geq 28 . \end{array}$ 其中 $100 x \in Z$ .由市场调研知道，每辆车售价25万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.

(1)、写出年利润 $S (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （百辆）的函数关系式；

(2)、年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
（总利润 $=$ 总销售收入-固定成本-流动成本 $)$

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{m x + n}{x^{2} + 1}$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的奇函数，且 $f (1) = 1$ .

(1)、求 $m, n$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义法证明你的结论；

(3)、求使 $f (a - 1) + f (a^{2} - 1) < 0$ 成立的实数a的取值范围.

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