广东省信宜市信宜中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

试卷更新日期：2024-11-08 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知 $\vec{a} = (1, 1, 3)$ ， $\vec{b} = (2, 3, 2)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、11 B、10 C、9 D、8

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2. 已知直线 $l_{1}$ ： $2 x + m y - 2025 = 0$ ， $l_{2}$ ： $(m + 1) x + 3 y + 2025 = 0$ ，且 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、-2 C、2 D、3

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3. 某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为 $0.7$ ，第二次面试通过的概率为 $0.4$ ，若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概率为（）

A、 $0.24$ B、 $0.42$ C、 $0.82$ D、 $0.88$

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4. 已知A， $B$ ， $C$ 三点不共线，点 $O$ 不在平面 $A B C$ 内， $\vec{O D} = \frac{1}{2} \vec{O A} + x \vec{O B} + y \vec{O C}$ （ $x$ ， $y > 0$ ），若A， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点共面，则 $x y$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{16}$ C、1 D、2

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5. 已知点 $A (2, - 3)$ ， $B (- 3, - 2)$ ，若过点 $(1, 1)$ 的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - \frac{3}{4}] \cup [4, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 4] \cup [\frac{3}{4}, + \infty)$ C、 $[- \frac{3}{4}, 4]$ D、 $[- 4, \frac{3}{4}]$

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6. 若 $P$ 为圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 9 = 0$ 上任意一点，点 $Q (1, 2)$ ，则 $|P Q|$ 的取值范围为（）

A、 $[2 + \sqrt{2}, + \infty)$ B、 $(0, 2 - \sqrt{2}]$ C、 $[2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}]$ D、 $(0, 2 + \sqrt{2}]$

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7. 已知直线 $l$ 与 $m : \sqrt{3} x - y + c = 0 (c < 0)$ 平行，且 $l$ 、 $m$ 之间的距离与点 $A (0, 2)$ 到 $l$ 的距离均为 $1$ ，则 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为（）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $4$

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8. 棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，其内部和表面上存在一点 $P$ 满足 $\vec{A P} \cdot \vec{B P} = \vec{A P} \cdot \vec{A_{1} P} = 0$ ，则 $∠ A B P$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ B、 $[0, \frac{π}{4}]$ C、 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ D、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知事件A，B满足 $P (A) = 0.5$ ， $P (B) = 0.2$ ，则（）

A、若 $B \subseteq A$ ，则 $P (A B) = 0.5$ B、若A与B互斥，则 $P (A + B) = 0.7$ C、若P(AB)=0.1，则A与B相互独立 D、若A与B相互独立，则 $P (A \bar{B}) = 0.9$

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10. 已知直线 $x - 2 y + 3 = 0$ 和直线 $x + y - 3 = 0$ 的交点为 $P$ ，则过点 $P$ 且与 $A (2, 3)$ 和 $B$ $(4, - 5)$ 距离相等的直线方程为（）

A、 $4 x - y + 6 = 0$ B、 $4 x + y - 6 = 0$ C、 $3 x + 2 y + 6 = 0$ D、 $3 x + 2 y - 7 = 0$

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11. 三棱锥 $A - B C D$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{B D} = \vec{C D} \cdot \vec{B D} = 0$ ， $A B = 3$ ， $B D = 2$ ， $C D = 4$ ，平面 $A B D$ 与平面 $B C D$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $A C$ 的长度可以为（）

A、5 B、 $\sqrt{17}$ C、 $\sqrt{41}$ D、6

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 $A (1, 0, 0)$ ， $B (2, - 1, 1)$ ，若B关于平面 $x O z$ 的对称点为C，则 $|\vec{A C}| =$ ．

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13. 已知平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{m} = (3, - 5, 4)$ ， $O \in α$ ， $P \notin α$ ， $\vec{O P} = (0, 0, - \frac{1}{4})$ ，则点 $P$ 到平面 $α$ 的距离为.

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14. 曲线 $x^{2} + y^{2} = 2 |x| + 2 |y|$ 围成的图形的周长为，面积为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

15. （1）已知点 $A (1, 3)$ ， $B (4, 7)$ ，求线段 $A B$ 垂直平分线的斜截式方程；
（2）已知倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线 $l$ 经过点 $(2, 1)$ ，求 $l$ 的截距式方程.

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16. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，若用x表示红色骰子正面朝上的点数，用y表示绿色骰子正面朝上的点数，用 $(x, y)$ 表示一次试验的结果，设 $A =$ “两个点数之和等于8”， $B =$ “至少有一颗骰子的点数为5”， $C =$ “红色骰子上的点数大于4”．

(1)、判断事件A，B是否相互独立；

(2)、分别求事件 $A \cup B$ 和C的概率．

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17. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 3$ ， $A_{1} B_{1} = 2$ ， $D_{1}$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，P在线段 $C C_{1}$ 上，且 $P C_{1} = \frac{2}{3}$ ．

(1)、证明： $P B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D_{1}$ ；

(2)、求直线 $B_{1} C$ 与平面 $A_{1} B D_{1}$ 所成的角的正弦值．

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18. $△ A B C$ 的三个顶点分别是 $A (4, 0)$ ， $B (0, 2)$ ， $C (3, 1)$ .

(1)、求边 $A B$ 上的中线所在直线 $l_{1}$ 的方程，求边 $A B$ 上的高所在直线 $l_{2}$ 的方程；

(2)、（ⅰ）求 $△ A B C$ 的外接圆 $G$ （ $G$ 为圆心）的标准方程；
（ⅱ）若点 $P$ 的坐标是 $(6, 0)$ ，点 $Q$ 是圆 $G$ 上的一个动点，点 $M$ 满足 $\vec{P M} = \frac{1}{3} \vec{P Q}$ ，求点 $M$ 的轨迹方程，并说明轨迹的形状.

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19. 在空间立体几何中，球面往往是重要的研究对象，同时，它与平面几何中的圆息息相关.而对于几何体的研究中，几何重心的选取显得尤为重要.古希腊著名数学家巴普斯（Pappus）在研究过程中发现了一个性质：平面内任一面积为 $S$ 的区域沿着垂直于该区域的平面运动得到体积为 $V$ 的立体，若记 $l$ 为此区域的几何重心运动的轨迹长度，则有 $V = S l$ .

(1)、已知半圆面的几何重心在其对称轴上，求半径为3的半圆面的几何重心到圆心的距离（试着考虑绕直径旋转一周得到球体）；

(2)、建立空间直角坐标系 $O x y z$ ，取球心为 $P (0, 0, 1)$ ，且半径为1的球体，点 $Q (a, b, c)$ 为其表面上一点.若 $a$ 、 $b > 0$ ， $c > 1$ ，球体在点 $Q$ 处的切面截坐标系的三轴组成平面三角形 $A B C$ ，求 $△ A B C$ 面积的最小值.
提示：①球面方程： ${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = r^{2}$ ，其中点 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 为球心坐标， $r$ 为球的半径；
②平面方程的点法式： $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ ，其中平面过点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，其法向量 $\vec{u} = (A, B, C)$ .

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