广东省广州市白云中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-11-14 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 已知直线 $l$ 过点 $A (1, 0)$ ， $B (2, \sqrt{3})$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 已知平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (- 2, - 2, 1)$ ，点 $A (- 1, - 3, 0)$ 在平面 $α$ 内；若点 $B (m, 0, 2 - m)$ 在平面 $α$ 内，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、0 C、1 D、2

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3. 对于任意空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，下列说法正确的是（）．

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ B、 $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ C、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角是钝角 D、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \vec{a} (\vec{b} \cdot \vec{c})$

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4. “ $a = 3$ ”是“直线 $l_{1} : y = \frac{1 - a}{2} x - \frac{1}{2}$ 与直线 $l_{2} : y = - \frac{3}{a} x + \frac{1}{a}$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2, B B_{1} = 3$ ，则 $\vec{A B_{1}} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件 $A$ 表示两次点数之和小于8，事件 $B$ 表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件 $A \cap B$ 用样本点表示为（）

A、 ${(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}$ B、 ${(1, 5), (2, 4), (4, 2), (5, 1)}$ C、 ${(1, 5), (2, 4), (3, 3)}$ D、 ${(1, 5), (2, 4)}$

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7. 已知二面角 $α - l - β$ 的棱l上有A，B两点，直线BD，AC分别在平面 $α, β$ 内，且它们都垂直于l．若 $A B = 5, A C = 3, B D = 6, C D = 2 \sqrt{13}$ ，则异面直线AC与BD所成角为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $135 °$

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8. 甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：（1）累计负两场者被淘汰；（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签甲､乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为 $\frac{1}{2}$ ，则丙最终获胜的概率为（）

A、 $\frac{5}{16}$ B、 $\frac{7}{16}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{8}$

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二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，少选得部分分，多选或错选不得分）

9. 已知事件 $A, B$ 发生的概率分别为 $P (A) = \frac{1}{2}, P (B) = \frac{1}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P (A + B) = \frac{2}{3}$ B、若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (A + B) = \frac{2}{3}$ C、若 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{3}$ ，则 $A$ 与 $B$ 相互独立 D、若 $B$ 发生时 $A$ 一定发生，则 $P (A B) = \frac{1}{6}$

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10. 以下命题正确的是（）

A、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{b} = (2, - 1, 2)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标是 $(\frac{8}{3}, - \frac{4}{3}, \frac{8}{3})$ B、若A，B，C三点不共线，对于空间任意一点 $O$ ，若 $\vec{O P} = \frac{2}{5} \vec{O A} + \frac{1}{5} \vec{O B} + \frac{2}{5} \vec{O C}$ ，则P，A，B，C四点共面 C、已知 $\vec{a} = (- 1, 1, 2)$ ， $\vec{b} = (0, 2, 3)$ ，若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，则 $k = - \frac{3}{4}$ D、已知 $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (- 1, 1, 2)$ ， $B (4, 1, 4)$ ， $C (3, - 2, 2)$ ，则AC边上的高BD的长为 $\sqrt{13}$

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11. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 为面 $A_{1} A B B_{1}$ 的中心， $E$ 、 $F$ 分别为 $B C$ 和 $D_{1} C_{1}$ 的中点，则（）

A、 $B_{1} D / /$ 平面 $A_{1} E F$ B、若 $G$ 为 $B_{1} B$ 上的动点，则 $A G + G C_{1}$ 的最小值为 $2 \sqrt{5}$ C、点 $O$ 到直线 $A_{1} E$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、平面 $A C D_{1}$ 与平面 $A_{1} E F$ 相交

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三、填空题（本大题共3小题，每题5分，其中第13题第一空3分，第二空2分）

12. 某个制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有500名志愿者服用此药，结果如下
体重变化
体重减轻
体重不变
体重增加
人数
276
144
80
如果另有一人服用此药，估计其体重减轻的概率为；

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13. 已知两点 $A (0, 4)$ ， $B (2, - 2)$ ，直线 $l_{1}$ 为线段AB的垂直平分线，则直线 $l_{1}$ 的方程为；直线 $l_{1}$ 与坐标轴所围成的三角形的面积为

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14. 在空间直角坐标系中， $u (x - x_{0}) + v (y - y_{0}) + w (z - z_{0}) = 0$ 表示经过点 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，且法向量为 $(u, v, w)$ 的平面的方程，则点 $P (1, 1, 3)$ 到平面 $(x - 1) - 2 (y + 1) + 2 (z - 2) = 0$ 的距离为.

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四、解答题（共5题，共77分）

15. 甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.

(1)、写出甲、乙抽到牌的所有情况；

(2)、设事件A=“乙抽到的牌的数字比3大”，求A的概率.

(3)、甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？

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16. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 是 $C C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $\vec{A_{1} C}$ 是平面 $B D C_{1}$ 的一个法向量；

(2)、求点 $A_{1}$ 到平面 $B D C_{1}$ 的距离；

(3)、求 $A_{1} B$ 与平面 $B D E$ 所成角的大小.

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AP的长为2，且 $\vec{A P}$ 与 $\vec{A B} 、 \vec{A D}$ 的夹角都等于 $60^{\circ}, M$ 在棱PD上， $\vec{P M} = \frac{1}{3} \vec{P D}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}, \vec{A P} = \vec{c}$ .

(1)、试用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示向量 $\vec{B M}$ ；

(2)、求 $\vec{B M}$ 与 $\vec{A P}$ 的夹角.

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18. $A$ ， $B$ ， $C$ 三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知 $A$ 闯关成功的概率是 $\frac{2}{3}$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 三人闯关都成功的概率是 $\frac{1}{6}$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 三人闯关都不成功的概率是 $\frac{1}{12}$ .

(1)、求 $B$ ， $C$ 两人各自闯关成功的概率；

(2)、求 $A$ ， $B$ ， $C$ 三人中恰有两人闯关成功的概率.

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19. 如图所示：多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为菱形，四边形 $A B E F$ 为直角梯形，且 $A F / / B E$ ， $A F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = B E = 2 A F = 2$ ．

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $A C F$ ；

(2)、若直线 $D A$ 与平面 $A C F$ 所成的角为 $60 °$ ，求平面 $A C F$ 与平面 $C E F$ 所成角的正弦值．

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体重变化	体重减轻	体重不变	体重增加
人数	276	144	80