广东省广州三校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-11-10 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知 $z_{1} = (a + 1) - 2 i$ 为纯虚数，则 $z_{2} = a + i$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加：停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量 $Q$ 随时间 $t$ 变化的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |2^{x} > 1\}$ ， $B = \{x |y = \ln (2 - x)\}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(0, 2)$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup [2, + \infty)$

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4. 设 $α \in (0 ， \frac{π}{2}) ， β \in (0 ， \frac{π}{2} ）$ ，且 $tan α = \frac{1 +sin β}{cos β}$ ，则（）

A、 $3 α - β = \frac{π}{2}$ B、 $3 α + β = \frac{π}{2}$ C、 $2 α - β = \frac{π}{2}$ D、 $2 α + β = \frac{π}{2}$

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5. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为AC与BD的交点，若 $\vec{A_{1} B_{1}} = \vec{a}$ ， $\vec{A_{1} D_{1}} = \vec{b}$ ， $\vec{A_{1} A} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{B_{1} M}$ 相等的向量是（）．

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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6. 已知点 $M (3, 0)$ 关于直线 $x - y - 1 = 0$ 的对称点为 $P$ ，经过点 $P$ 作直线 $l$ ，若直线 $l$ 与连接 $A (- 7, 1)$ ， $B (5, 8)$ 两点的线段总有公共点，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{8}, \frac{3}{2}]$ B、 $(- \infty, \frac{1}{8}] \cup [\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $[- \frac{1}{8}, \frac{3}{2}]$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{8}] \cup [\frac{3}{2}, + \infty)$

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (0, 1)$ ， $B (0, 4)$ .若直线 $2 x - y + c = 0$ 上存在点 $P$ ，使得 $P B = 2 P A$ ，则实数 $c$ 的取值范围是（）

A、 $(- \sqrt{5}, \sqrt{5})$ B、 $[- \sqrt{5}, \sqrt{5}]$ C、 $(- 2 \sqrt{5}, 2 \sqrt{5})$ D、 $[- 2 \sqrt{5}, 2 \sqrt{5}]$

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8. 已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 都是定义在 $R$ 上的函数，对任意x，y满足 $f (x - y) = f (x) g (y) - g (x) f (y)$ ，且 $f (- 2) = f (1) \neq 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = 1$ B、函数 $g (2 x + 1)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称 C、 $g (1) + g (- 1) = 0$ D、若 $f (1) = 1$ ，则 $\sum_{n = 1}^{2023} f (n) = 1$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 对任意实数 $a, b, c ，$ 下列命题中正确的是（）

A、“ $a > b$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的充要条件 B、“ $a b$ 是无理数”是“ $a ， b$ 都是无理数”的既不充分也不必要条件 C、“ $a > b$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的充分不必要条件 D、“ $a > b$ ”是“ $a c^{2} > b c^{2}$ ”的必要不充分条件

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10. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图象关于点 $(\frac{4 π}{3}, 0)$ 中心对称，则（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{12}, \frac{13 π}{12})$ 有两个零点 C、直线 $x = \frac{5 π}{6}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称轴 D、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{12})$ 单调递增

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11. 两个正方形框架 $A B C D, A B E F$ 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，动点 $M ， N$ 分别在正方形对角线 $A C$ 和 $B F$ 上移动，且 $C M$ 和 $B N$ 的长度保持相等，记 $C M = B N = a (0 < a < \sqrt{2})$ ．（）

A、 $M N / / 平面 B C E$ B、三棱锥 $F - A C E$ 的外接球的表面积为 $12 π$ C、当 $M N$ 的长最小时，平面 $M N A$ 与平面 $M N B$ 夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ D、当 $M N$ 的长最小时，直线 $C E$ 到平面 $M N B$ 的距离 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.

12. 2023年6月4日神舟十五号载人飞行任务取得圆满成功，费俊龙、邓清明、张陆这三位航天员在空间站上工作了186天，此次神舟十五号载人飞船返回，是我国空间站转入应用与发展阶段后的首次返回任务，掀开了中国航天空间站的历史新篇章.．为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10， $m$ ，若去掉 $m$ ，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数 $m (1 \leq m \leq 10)$ 的值可以是（写出一个满足条件的 $m$ 值即可）．

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13. 圆 $x^{2} + y^{2} = 8$ 内有一点 $P_{0} (- 1, 2)$ ， $A B$ 为过点 $P_{0}$ 的弦.当弦 $A B$ 被点 $P_{0}$ 平分时，则直线 $A B$ 的方程为.

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14. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} \log_{\frac{1}{2}} (1 - x), - 1 \leq x \leq n \\ 2^{2 - |x - 1|} - 3, n < x \leq m \end{cases}$ 的值域是 $[- 1, 1]$ ，若 $n \in [0, \frac{1}{2})$ ，则m的取值范围是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 在一个盒子中有 $2$ 个白球， $3$ 个红球，甲、乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次取 $1$ 个，取后不放回，直到 $2$ 个白球都被取出来后就停止取球．

(1)、求 $2$ 个白球都被甲取出的概率；

(2)、求将球全部取出才停止取球的概率．

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16. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋ $\sqrt{3}$ asin C－b－c＝0.
(1)求A；
(2)若AD为BC边上的中线，cos B＝ $\frac{1}{7}$ ， AD＝ $\frac{\sqrt{129}}{2}$ ，求△ABC的面积．

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17. 已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (2, 0)$ ， $B (2, 4)$ ， $C (4, 2)$ ，直线 $l$ 经过点 $D (1, 4)$ .

(1)、求 $△ A B C$ 外接圆 $M$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $P Q = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(3)、若 $E, F$ 是圆 $M$ 上的两个动点，当 $∠ E D F$ 最大时，求直线 $E F$ 的方程.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D$ ， $P A = P D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $A C = C D = \sqrt{5}$ .
（1）求证：平面 $P A B$ ；
（2）求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面 $P C D$ ？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

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19. 常用测量距离的方式有3种．设 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，定义欧几里得距离 $d (A, B) = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ ，定义曼哈顿距离 $m (A, B) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ ，定义余弦距离 $e (A, B) = 1 - cos (A, B)$ ，其中 $cos (A, B) = cos ⟨\vec{O A}, \vec{O B}⟩$ （ $O$ 为坐标原点）．

(1)、若 $A (1, 2), B (2, 1)$ ，求 $A, B$ 之间的欧几里得距离 $d (A, B)$ 和余弦距离 $e (A, B)$ ；

(2)、若点 $P (x, y)$ 在函数 $y = 3^{x}$ 的图象上且 $x \in Z$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(1, 27)$ ，求 $m (P, Q)$ 的最小值；

(3)、若 $C (\sqrt{4 x - x^{2}}, x - 2), D (- 1, \frac{\sqrt{3}}{3})$ ，求 $e (C, D)$ 的取值范围.

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