广东省广州三校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-11-18 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = \{x \in Z ∣ x = \frac{4}{k + 1}, k \in Z\}, B = \{x ∣ x^{2} - 3 x - 4 \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 1, 2, 4\}$ B、 $\{- 4, - 2, - 1, 1\}$ C、 $[- 1, 0) \cup (0, 4]$ D、 $[- 4, 0) \cup (0, 1]$

查看试题解析
2. 给出下列命题，其中是正确命题的是（）

A、两个函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 表示的是同一函数 B、函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 的单调递减区间是 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ C、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0, 2]$ ，则函数 $f (2 x)$ 的定义域为 $[0, 1]$ D、命题“ $\forall x \in [0, + \infty)$ ， $x^{2} + 1 > 0$ ”的否定是“ $\exists x \in (- \infty, 0)$ ， $x^{2} + 1 \leq 0$ ”

查看试题解析
3. 近日，我国某生命科学研究所的生物研究小组成员通过大量的实验和数据统计得出睡眠中的恒温动物的脉搏率 $f$ （单位时间内心跳的次数）与其自身体重 $W$ 满足 $f = \frac{k}{W^{\frac{1}{3}}} (k \neq 0)$ 的函数模型.已知一只恒温动物兔子的体重为2kg、脉搏率为205次 $\cdot {min}^{- 1}$ ，若经测量一匹马的脉搏率为41次 $\cdot {min}^{- 1}$ ，则这匹马的体重为（）

A、350kg B、450kg C、500kg D、250kg

查看试题解析
4. 已知 $a, b, c \in R$ ，那么下列命题中正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ ，则 $a > b$ C、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\frac{b^{2}}{a} + \frac{a^{2}}{b} \geq a + b$ D、若 $a^{2} > b^{2}$ 且 $a b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

查看试题解析
5. 关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $(- \infty ， - 2) \cup (3 ， + \infty)$ ，则下列说法正确的个数是（）个.
① $a < 0$ ；②关于 $x$ 的不等式 $b x + c > 0$ 的解集为 $(- \infty ， - 6)$ ；③ $a + b + c > 0$ ；④关于 $x$ 的不等式 $c x^{2} - b x + a > 0$ 的解集为 $(- ∞ ， - \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2} ， + ∞)$ .

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
6. 已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，且在 $[0, 1)$ 为减函数，在 $[1, + \infty)$ 为增函数， $f (2) = 0$ ，则不等式 $(x + 1) f (1 - x) \geq 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 1] \cup [1, 3]$ B、 $[1, 3] \cup \{- 1\}$ C、 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$ D、 $[- 1, 3]$

查看试题解析
7. 已知 $g (x)$ 是定义域为R的函数， $g (x) = a x^{2} + 2$ ，若对任意的 $1 < x_{1} < x_{2} < 2$ ，都有 $\frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > - 3$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $[- \frac{3}{4}, 0]$ C、 $(- \frac{3}{4}, + \infty)$ D、 $[- \frac{3}{4}, + \infty)$

查看试题解析
8. 若对于定义域内的每一个 $x$ ，都有 $f (k x) = k f (x)$ ，则称函数 $f (x)$ 为“双 $k$ 倍函数”.已知函数 $f (x)$ 是定义在 $[1, 4]$ 上的“双2倍函数”，且当 $x \in [1, 2)$ 时， $f (x) = - 4 x^{2} + 12 x - 7$ ，若函数 $y = f [f (x)] - a$ 恰有4个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $[1, 4]$ C、 $(1, 2) \cup (2, 4]$ D、 $(1, 4]$

查看试题解析

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知实数 $a$ 满足 $a + a^{- 1} = 4$ ，下列选项中正确的是（）

A、 $a - a^{- 1} = 2 \sqrt{3}$ B、 $a^{2} + a^{- 2} = 14$ C、 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = \sqrt{6}$ D、 $a^{\frac{3}{2}} + a^{- \frac{3}{2}} = 3 \sqrt{6}$

查看试题解析
10. 已知 $x > 0, y > 0$ ，且 $x + 2 y = 1$ ，则下列正确的有（）

A、 $x y$ 的最大值是 $\frac{1}{8}$ B、 $2^{x} + 4^{y}$ 的最小值是 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最大值是9 D、 $\sqrt{x} + \sqrt{2 y}$ 的最小值是 $\sqrt{2}$

查看试题解析
11. 定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足下列条件：（1） $f (\frac{x}{y}) = y f (x) - x f (y)$ ；（2）当 $x > 1$ 时， $f (x) > 0$ ，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) < 0$ C、 $f (x^{2}) \geq 2 f (x)$ D、 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. ${0.064}^{- \frac{1}{3}} + \sqrt{{(- 2)}^{4}} - {(π + e)}^{0} - 9^{\frac{3}{2}} \times {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} =$ .

查看试题解析
13. 已知幂函数 $f (x)$ 过点 $(2, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，若 $f (a + 1) < f (3 - 2 a)$ ，则实数a的取值范围是.

查看试题解析
14. 定义区间(a，b)，[a，b)，(a，b]，[a，b]的长度均为 $d = b - a$ ，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，(1，2) $\cup$ [3，5)的长度d=(2-1)+(5-3)=3. 用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x-[x]，其中 $x \in R$ .设 $f (x) = [x] \cdot {x}$ ， $g (x) = x - 1$ ，当 $0 \leq x \leq k$ 时，不等式 $f (x) < g (x)$ 解集区间的长度为 $5$ ，则 $k$ 的值为．

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知集合 $A = \{x| \frac{1}{4} \leq 2^{x} \leq 32\}$ ， $B = \{x| x^{2} - 4 x + 4 - m^{2} \leq 0, m \in R\}$ .

(1)、若 $m = 3$ ，求 $A \cap B$ ；

(2)、若存在正实数m，使得“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围.

查看试题解析
16. 设 $y = m x^{2} + (1 - m) x + m - 2$ ．

(1)、若不等式 $y \geq - 2$ 对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；

(2)、解关于x的不等式 $m x^{2} + (1 - m) x + m - 2 < m - 1 (m \in R)$ ．

查看试题解析
17. 学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机 $x$ 万部并全部销售完，每万部的销售收入为 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = \{\begin{array}{l} a - 4 x, 0 < x \leq 10 \\ \frac{5300}{x} - \frac{b}{x^{2}}, x > 10 \end{array}$ ．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元．

(1)、写出年利润 $W$ （万元）关于年产量 $x$ （万部）的函数解析式；

(2)、当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

查看试题解析
18. 双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：
双曲正弦函数 $\sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，双曲余弦函数： $\cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$

(1)、请选择下列2个结论中的一个结论进行证明：选择______（若两个均选择，则按照第一个计分）
① $\cosh^{2} x - \sinh^{2} x = 1$ ② $\cosh 2 x = \cosh^{2} x + \sinh^{2} x$

(2)、请证明双曲正弦函数sinh x在 $R$ 上是增函数；

(3)、求函数 $y = \cosh^{2} x + \sinh^{2} x + \cosh x$ 在R上的值域．

查看试题解析
19. 已知函数 $y = F (x)$ 的定义域为 $D$ ， $t$ 为大于 $0$ 的常数，对任意 $x \in D$ ，都满足 $F (x) > \frac{F (x + t) + F (x - t)}{2}$ ，则称函数 $y = F (x)$ 在 $D$ 上具有“性质 $A$ ”．

(1)、试判断函数 $y = 2^{x}$ 和函数 $y = - x^{2}$ 是否具有“性质 $A$ ”（无需证明）；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 具有“性质 $A$ ”，且 $f (0) > f (\frac{1}{2})$ ，求证：对任意 $n \in N$ ，都有 $f (n) > f (n + 1)$ ；

(3)、若函数 $y = g (x)$ 的定义域为 $R$ ，且具有“性质 $A$ ”，试判断下列命题的真假，并说明理由，
①若 $y = g (x)$ 在区间 $(- ∞ ， 0)$ 上是严格增函数，则此函数在 $R$ 上也是严格增函数；
②若 $y = g (x)$ 在区间 $(- ∞ ， 0)$ 上是严格减函数，则此函数在 $R$ 上也是严格减函数．

查看试题解析