同底数幂的乘除法—人教版数学八（上）知识点训练

试卷更新日期：2024-11-24 类型：复习试卷

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一、基础夯实

1. 计算： ${(- a)}^{2} \cdot a^{4}$ 的结果是（）

A、 $a^{8}$ B、 $a^{6}$ C、 $- a^{8}$ D、 $- a^{6}$

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2. 若3^ˣ=4，9^ʸ=7，则 $3^{x + 2 y}$ 的值为（）

A、28 B、14 C、11 D、18

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3. 下列计算不正确的是（）

A、 ${(a^{3})}^{3} = a^{9}$ B、 $a^{6 n} = {(a^{2 n})}^{3}$ C、 ${(x^{n + 1})}^{2} = x^{2 n + 2}$ D、 $x^{3} \cdot x^{2} = x^{6}$

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4. 若 $2^{m} \cdot 2^{n} = 32$ ，则m+n的值为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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5. a^x=2，a^y=3，则a^x+y=（　　）

A、5 B、6 C、3 D、2

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6. 已知 $3^{a} = 4$ ， $3^{b} = 10$ ， $3^{c} = 25$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 之间满足的等量关系是.

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7. 计算下列各式，并用幂的形式表示结果．

(1)、 $3^{5} \times 3^{4}$ ．

(2)、 $(- 4)^{4} \times (- 4)^{6}$ ．

(3)、 ${(\frac{1}{4})}^{4} \times {(\frac{1}{4})}^{3}$ ．

(4)、 $(- 6)^{3} \times 6^{4}$ ．

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8. 计算下列各式，结果用幂的形式表示．

(1)、 (-14)³×14．

(2)、 (a-b) ·(b-a)⁵

(3)、 (-5)²×(-5)³×54．

(4)、 10 000 000×(-10 000 000 000)

(5)、 (-2)²⁰²⁰+(- 2)²⁰²¹ ．

(6)、 1000×10^m+1 ．

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9. 若 $a^{m} = a^{n}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， m、n是正整数），则 $m = n$ ．利用上面结论解决下面的问题：

(1)、如果 $2^{x + 1} \cdot 2^{x} = 2^{5}$ ，求x的值；

(2)、如果 $2^{x + 1} + 2^{x} = 24$ ，求x的值．

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二、能力提升

10. 已知 $a ， b ， c$ 为正整数，且满足 $2^{a} \times 3^{b} \times 4^{c} = 384$ ，则 $a + b + c$ 的取值不可能是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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11. 在关于 $x, y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} x - 2 y = a + 6 \\ 3 x + y = 2 a \end{matrix}$ ，有下列说法：
①当 $a = 3$ 时，方程的两根互为相反数：
②当且仅当 $a = - 4$ 时，解得 $x$ 与 $y$ 相等；
③ $x, y$ 满足关系式 $x + 5 y = - 12$ ；
④若 $9^{x} \cdot 27^{y} = 81$ ，则 $a = 10$ .
其中正确的是（）

A、①③ B、①② C、①②③ D、①②③④

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12. 如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球 $29$ 个、 $29$ 个、 $5$ 个，先从甲袋中取出 $2^{x}$ 个球放入乙袋，再从乙袋中取出 $(2^{x} + 2^{y})$ 个球放入丙袋，最后从丙袋中取出 $2^{y}$ 个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则 $2^{x + y}$ 的值等于( )

A、 $128$ B、 $64$ C、 $32$ D、 $16$

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13. 若 $(a^{m + 1} b^{n + 2}) \cdot (a^{2 n - 1} b^{2 m}) = a^{5} b^{3}$ ，求 $m + n$ 的值．

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14. 计算机硬盘容量的最小单位为字节（byte）， 1 个数字（如 $0 ， 1 ， 2 ， 3 ， \dots ， 9$ ）占 1 个字节（记作 1B）， 1 个英文字母占 1 个字节， 1 个汉字占 2 个字节， 1 个标点符号占 1 个字节，计算机硬盘容量的常用单位有 $K B ， M B ， G B$ ，其中 $1 K B = 1024 B ， 1 M B = 1024 K B$ ， $1 G B = 1024 M B ． 1 M B$ 读作“1 兆”， $1 G B$ 读作“1 吉”．已知 $2^{10} = 1024$ ．

(1)、用底数为 2 的幂表示： $1 M B$ 有多少个字节？ $1 G B$ 有多少个字节？

(2)、设 $1 K B \approx 1000 B ， 1 M B \approx 1000 K B ， 1 G B \approx 1000 M B$ ，用底数为 10 的幂表示： $1 M B$ 大约有多少个字节？ $1 G B$ 大约有多少个字节？

(3)、根据（2），硬盘容量为 $10 G B$ 的计算机大约能容纳多少个字节？

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三、拓展创新

15. 我们知道，同底数幂的乘法法则为 $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$ （其中 $a \neq 0$ ， m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算： $f (m + n) = f (m) \cdot f (n)$ ，若 $f (2) = 5$ ，则 $f (4) = f (2 + 2) = f (2) \cdot f (2) = 5 \times 5 = 25$ ，请根据这种新运算解决以下问题：

(1)、①若 $f (1) = - \frac{2}{3}$ ，则 $f (2) =$ ________；
②若 $f (2) = 4$ ，则 $f (1) =$ ________；

(2)、若 $f (4) = 81$ ，求 $f (3)$ 的值．

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16. 先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若 $a^{n} = b$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1 ， b > 0$ ），则n叫做以a为底b的对数，记为 $l o g_{a} b$ （即 $l o g_{a} b = n$ ）．
例如： $3^{4} = 81$ ，记为 $l o g_{3} 81$ （即 $l o g_{3} 81 = 4$ ），则4叫做以3为底81的对数． $9^{2} = 81$ 可以记为 $l o g_{9} 81 = 2$ ．

(1)、①计算以下各对数的值：
$l o g_{2} 4 =$ ， $l o g_{2} 16 =$ ， $l o g_{2} 64 =$ ；
② $l o g_{2} 4$ 、 $l o g_{2} 16$ 、 $l o g_{2} 64$ 之间的数量关系是；

(2)、猜想一般性的结论： $l o g_{a} M + l o g_{a} N =$ ▲ （结果用含a ， M ， N的式子表示）（ $a > 0$ 且 $a \neq 1 ， M > 0 ， N > 0$ ），并写出证明过程．

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