二次函数的实际应用（3)—浙教版数学九（上）知识点训练

试卷更新日期：2024-11-23 类型：复习试卷

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一、几何问题

1. 用 $40 c m$ 的绳子围成一个的矩形，则矩形面积 $y {cm}^{2}$ 与一边长为 $x cm$ 之间的函数关系式为（）

A、 $y = x^{2}$ B、 $y = - x^{2} + 40 x$ C、 $y = - x^{2} + 20 x$ D、 $y = - x^{2} + 20$

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2. 两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为 $a$ ，则这两个正方形的面积的和S关于 $a$ 的函数关系式为（）

A、 $S = a^{2} + {(\frac{5 - a}{2})}^{2}$ B、 $S = a^{2} + {(5 - \frac{a}{2})}^{2}$ C、 $S = a^{2} + {(5 - a)}^{2}$ D、 $S = a^{2} + {(\frac{5 - 2 a}{2})}^{2}$

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3. 用总长为a米的材料做成如图所示的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图，则a的值是（）

A、16 B、12 C、8 D、4

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4. 如图，在一面靠墙的空地上用长为28米的篱笆围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，墙长12米．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S关于x的函数表达式为，自变量x的取值范围为

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5. 如图，有长为24m的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃ABCD的面积最大为m² ．

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6. 一条长为8的铁丝剪成两段，分别折成一个正方形．若这两个正方形面积的和为2.5，则这两条线段长分别为和．在所有剪法中，两个正方形面积和的最大值为

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7. 如图，有一张长方形桌子的桌面长 $130 c m$ ，宽 $60 c m$ ．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．若设台布垂下的长度为 $x c m$ ，则可列出x满足的方程为．（不必化简）

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8. 为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长 $12 m$ ）和 $21 m$ 长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：

(1)、方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度 $A E = 1 m$ 的水池且需保证总种植面积为 $32 m^{2}$ ，试分别确定 $C G$ 、 $D G$ 的长；

(2)、方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问 $B C$ 应设计为多长？此时最大面积为多少？

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9. 如图，用长32米的竹篱笆围成一个矩形院墙，其中一面靠墙，墙长14米，墙的对面有一个2米宽的门，设垂直于墙的一边长为x米，院墙的面积为S平方米．

(1)、直接写出S与x的函数关系式；

(2)、若院墙的面积为120平方米，求x的值；

(3)、若在墙的对面再开一个宽为a（ $a < 3$ ）米的门，且面积S的最大值为154平方米，求a的值．

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10. [ 综合与实践]
如图，生活中的很多工艺品，可以看成是由一些简单的平面图形旋转得到的几何体．
[知识背景]把一个平面图形绕着不同的轴旋转，可以得到一个不同形状的几何体．如图，某数学兴趣小组把周长为36 cm的矩形ABCD绕它的一条边AB旋转可以形成一个圆柱体
请完成下列方案设计中的任务
[方案设计]目标：设计一个侧面积最大的圆柱体．
任务一：把圆柱体的侧面沿着其中一条母线EF剪开并展平，研究圆柱体侧面展开图的形状及边长．

(1)、圆柱体的侧面展开图是一个什么平面图形？ GH的长度与圆柱体的底面周长有什么关系？

(2)、如图，设BC的长度为xcm，请用含有x的代数式分别表示AB、GJ、GH的长度；
任务二：计算圆柱体侧面积，设圆柱体的侧面积为ycm．

(3)、在(2)的条件下，求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；．

(4)、在(3)的条件下，求当x取何值时，圆柱体的侧面积y最大？最大值是多少？

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11. 湖南农业大区零陵区土地资源丰富，近年来，该区利用农业特色资源优势，大力发展特色种植，带动农民门口致富，尤其是各种水果的种植驰名省内外．下面是一家果农所遇到的问题，请你阅读下面材料帮忙解决果农所遇到的问题.

信息及素材
素材一	在专业种植技术人员的正确指导下，果农对纽荷尔脐橙的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年纽荷尔脐橙平均每株产量是50千克，2022年达到了72千克，每年的增长率是相同的．
素材二	一般采用的是长方体包装盒．

(1)、任务1：求纽荷尔脐橙产量的年平均增长率；

(2)、任务2：为了放下适当数量的纽荷尔脐橙，现有边长为

80cm

的正方形纸板，将四角各裁掉一个正方形，折成无盖长方体纸盒．折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明理由；如果有，求出此时剪掉的正方形边长．

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12. 课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．
初三(1)班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：

(1)、方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图1)．
若 $∠ A C B = 90 °$ ，设 $A C = x$ 厘米，该水槽的横截面面积为 $y$ 厘米 $^{2}$ ，请你写出 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式(不必写出 $x$ 的取值范围)，并求出当 $x$ 取何值时， $y$ 的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图2)．
若 $∠ A B C = 120 °$ ，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的 $y$ 的最大值比较大小．

(2)、假如你是该兴趣小组中的成员，通过两个方案的研究，你能得出什么结论？

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二、行程问题

13. 2022年 $C 919$ 大型客机取得合格证，客机着陆后滑行距离 $g$ （单位：米）关于滑行时间 $t$ （单位：秒）的函数解析式是 $g = 54 t - \frac{3}{2} t^{2}$ ，则该飞机着陆后滑行最长时间为秒．

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14. 据统计，每年因汽车追尾而造成的交通事故占交通事故总数的 $70 %$ 以上 $.$ 注意车速，保持车距是行车安全中必须遵守的 $.$ 某公路上正在行驶的甲车，发现前方道路有一辆乙车并开始减速，减速后甲车行驶的路程 $s ($ 单位： $m)$ 与时间 $t ($ 单位： $s)$ 的关系如表所示．
时间 $t ($ 单位： $s)$
$0$
$1$
$2$
$3$
$4$
$\dots$
行驶的路程 $s ($ 单位： $m)$
$0$
$15$
$28$
$n$
$48$
$\dots$

(1)、根据所得数据中甲车行驶的路程 $s ($ 单位： $m)$ 与时间 $t ($ 单位： $s)$ 的变化规律，利用初中所学函数知识求出 $s$ 与 $t$ 之间的函数关系式，并写出 $n$ 的值；

(2)、若乙车因事故抛锚在距甲车 $50$ 米处，甲车是否会追尾抛锚的车辆？试说明理由；

(3)、乙车以 $4 m / s$ 的速度匀速行驶，若要避免发生追尾事故，甲车至少在距离乙车多少米处开始刹车？

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15. 综合与实践．
某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察，刹车距离．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
刹车后行驶的时间
0
1
2
3
刹车后行驶的距离y
0
27
48
63
发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系；
②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：

(1)、求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

(2)、若汽车刹车 $4 s$ 后，行驶了多长距离；

(3)、若汽车司机发现正前方 $80 m$ 处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．

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16. 综合与实践
南宁轨道交通5号线（Nanning Rail Transit Metro Line 5)，是南宁市第五条建成运营的轨道交通线路，于2017年9月7日全线开工建设，于2021年12月16日开通运营一期工程（国凯大道站至金桥客运站)，南宁轨道交通5号线是广西首条采用全自动无人驾驶模式运行的地铁线路．数学小组成员了解到5号线地铁列车准备进入某站时在距离停车线256米处开始减速.他们想了解列车从减速开始，经过多少秒在停车线处停下？为解决这一问题，数学小组建立函数模型来描述地铁列车车头离停车线的距离s(米）与时间t(秒)的函数关系，再应用该函数解决相应问题.
【建立模型】
①收集数据
$t$ （秒）
0
4
8
12
16
20
24
…
$s$ （米）
256
196
144
100
64
36
16
…
②建立平面直角坐标系
为了观察 $s$ （米）与 $t$ （秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．
③描点连线
④猜想模型

(1)、请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接；

(2)、根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的 ▲ 函数图象（选填“一次、“二次”或“反比例”）．请你选择合适的数据求出该函数的表达式（不要求写出自变量取值范围）；

(3)、【问题解决】
地铁从减速开始，经过多少秒在停车线处停下?

(4)、【拓展应用】已知5号地铁列车在该地铁站经历的过程如下：
进站：车头从进站那一刻起到停车线处停下，用时24秒；停靠：列车停靠时长为40秒（即列车停稳到再次启动停留的时间为40秒）；出站：列车再次启动到列车车头刚好出站，用时5秒．数学小组经计算得知，在地铁列车出站过程中，列车车头离停车线的距离 $s$ （米）与时间 $t$ （秒）的函数关系变为 $s = \frac{1}{2} (t - 72)^{2} (72 ⩽ t ⩽ 100)$ ．
请结合以上信息，求出该地铁站的长度．

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时间 $t ($ 单位： $s)$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$\dots$
行驶的路程 $s ($ 单位： $m)$	$0$	$15$	$28$	$n$	$48$	$\dots$

刹车后行驶的时间	0	1	2	3
刹车后行驶的距离y	0	27	48	63

$t$ （秒）	0	4	8	12	16	20	24	…
$s$ （米）	256	196	144	100	64	36	16	…