二次函数的实际应用（2)—浙教版数学九（上）知识点训练

试卷更新日期：2024-11-23 类型：复习试卷

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一、拱桥问题

1. 如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是（）

A、12米 B、13米 C、14米 D、15米

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2. 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 $3 m$ ，水面宽 $6 m$ ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（）

A、 $y = - \frac{1}{3} x^{2}$ B、 $y = \frac{1}{3} x^{2}$ C、 $y = - 3 x^{2}$ D、 $y = 3 x^{2}$

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3. 如图 15-1 是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 $2 m$ 时，水面宽 $4 m$ ，当水面上升 $1.5 m$ 时，水面宽度变为（）

A、 $1 m$ B、 $2 m$ C、 $\sqrt{3} m$ D、 $2 \sqrt{3} m$

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4. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为 $y = - \frac{1}{40} x^{2} + 10$ ，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面 $A B$ 高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离 $E F$ 是米．

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5. 如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为 $y = a x^{2} + b x$ .小强骑自行车从拱梁一端 $O$ 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 $s$ .

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6. 如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离．

(1)、求此桥拱截面所在抛物线的表达式；

(2)、有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由．

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7. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案？

素材1

图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为x轴，过抛物线离地面的最高点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示．

某时测得水面宽20m ，拱顶离水面最大距离为10m ，抛物线拱形最高点与x轴的距离为5m ．据调查，该河段水位在此基础上再涨1m达到最高．

素材2

为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m ，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m ．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）

(1)、【确定桥拱形状】根据图2，求抛物线的函数表达式．

(2)、【拟定设计方案】求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．

(3)、【探究救生绳长度】当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数．）

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8. 某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB=L称跨度，桥面最高点到AB的距离CD=h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型：②）圆弧型，已知这座桥的跨度L=20米，拱高h=5米.

(1)、如图1，若设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，B的垂直平分线为y轴建立坐标系，求此函数表达式；

(2)、如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；

(3)、现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米，从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥?并说明理由.

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二、抛球问题

9. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：

t	0	1	2	3	4	5	6	7	…
h	0	8	14	18	20	20	18	14	…

下列结论：①足球距离地面的最大高度超过20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝ $\frac{9}{2}$ ；③点（9，0）在该抛物线上；④足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降.其中正确的结论是（）

A、②③ B、①②③ C、①②③④ D、②③④

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10. 如图，一位篮球运动员投篮，球的行进路线是沿抛物线 $y = a x^{2} + x + 2.25$ （ $x$ ， $y$ 的单位都为 $m$ ），然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 $3.05 m$ ，他距篮筐中心的水平距离 $O H$ 是 $4 m$ ，则 $a$ 的值为（）．

A、 $- 0.25$ B、 $- 0.24$ C、 $- 0.22$ D、 $- 0.2$

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11. 地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（）

A、小球滑行6秒停止 B、小球滑行12秒停止 C、小球滑行6秒回到起点 D、小球滑行12秒回到起点

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12. 以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t² ．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v₁ ，经过时间t₁落回地面，运动过程中小球的最大高度为h₁；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v₂ ，经过时间t₂落回地面，运动过程中小球的最大高度为h₂ ．若h₁＝1.21h₂ ，则t₁：t₂＝．

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13. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x-6）²+h ．已知球网与O点的水平距离为9m ，高度为2.24m ，球场的边界距O点的水平距离为18m ．若球一定能越过球网，又不出边界（可落在边界），则h的取值范围是．

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14. 2022年北京冬奥会，其中跳台滑雪是极具观赏性的比赛项目之一．如图是某跳台滑雪比赛场地的横截面示意图，线段 $A B$ 表示出发台， $B C$ 表示助滑坡，点 $C$ 表示起跳点，线段 $C D$ 表示着陆坡，点 $K$ 表示此跳台滑雪的 $K$ 点．以水平地面为 $x$ 轴，过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系．已知起跳点 $C$ 到水平地面的距离为60米，到 $y$ 轴的距离是40米， $O D = 120$ 米， $C K = 75$ 米．
K点是跳台滑雪中打出距离分所用的参照点，此跳台的参照距离是75米，即CK=75米.
距离分=60+2×(跳跃距离-75).
跳跃距离是指起跳点C与着陆点之间的距离.

(1)、求点 $K$ 的坐标；

(2)、某运动员从点 $C$ 滑出，在空中飞行的轨迹（与横截面在同一平面内）可以近似地看成一条抛物线，其函数表达式为 $y = - 0.01 x^{2} + b x + c$ ．
①若该运动员第一跳的距离分是60分，求此时该抛物线的表达式；
②为了在第二跳中取得更好的成绩，该运动在起跳角度和空中姿势方面做了一定的调整，使得第二跳的飞行轨迹抛物线的表达式为 $y = - 0.01 x^{2} + 0.8 x + 44$ ，求该运动员此跳的距离分．

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15. 【综合与实践】
某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为 $2.74 m$ ．过点 $A$ 作 $O A ⊥ B C$ ，垂足为 $O, O B = 0.03 m$ ，以点 $O$ 为原点，以直线BC为 $x$ 轴，OA所在直线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口 $A$ 发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分 $L$ ，设乒兵球与出球口 $A$ 的水平距离为 $x (m)$ ，到桌面的高度为 $y (m)$ ，在桌面上的落点为 $D$ ，经测试，得到如下部分数据：
$x (m)$
0
0.5
1
1.5
2
…
$y (m)$
0.25
0.4
0.45
0.4
0.25
…

(1)、当 $x =$ ▲ $m$ 时，乒乓球达到最大高度；求出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、桌面正中间位置安装的球网GH的高度为 $0.15 m$ ，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端 $H$ 的距离约为多少?（结果保留两位小数）

(3)、乒乓球落在点 $D$ 后随即弹起，沿抛物线 $L^{^{'}} : y = - \frac{\sqrt{3}}{2} (x - p) (x - 3.5)$ 的路线运动，小明拿球拍EF与桌面夹角为 $6 0^{°}$ 接球，球拍击球面的中心线EF长为 $0.16 m$ ，下沿 $E$ 在 $x$ 轴上，假设抛物线 $L$ ， $L^{^{'}}$ 与EF在同一平面内，且乒乓球落在EF上（含端点，点 $E$ 在点 $C$ 右侧），直接写出：
① $p =$ ；
②球拍到桌边的距离CE的取值范围．

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16. 小陆和小吕参加体育节双人互垫排球项目，小陆和小吕按比赛要求站立，小陆在左边发球后，排球球心运动的路线为抛物线的一部分，以抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系（如图），小陆发球时排球球心与y轴水平距离为 $1.5 m$ ，且球心离地最大高度是 $1.1 m$ ，根据图中信息：

(1)、请求出排球球心运动路线的函数表达式；

(2)、求小陆发球时球心离地高度多少米；

(3)、若接球时球心离地高度不高于0.5m，则小吕在接球时球心离y轴至少多少米？（精确到0.1米，参考值： $\sqrt{3}$ ≈1.73， $\sqrt{6}$ ≈2.45）

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三、喷水问题

17. 某建筑物，从10m高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 $\frac{40}{3}$ m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）

A、2m B、3m C、4m D、5m

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18. 某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度 $h (m)$ 与水流时间 $t (s)$ 之间的解析式为 $h = 30 t - 5 t^{2}$ ，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是（）

A、 $8 s$ B、 $6 s$ C、 $4 s$ D、 $2 s$

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19. 学校组织学生去南京进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点. 洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形CGHD. 小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH=12cm ，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm ，且B、D、H三点共线. 小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm ，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是（）cm

A、 $12 \sqrt{3}$ B、 $12 \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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20. 准备在一个“7”字型遮阳棚下安装一个喷水装置（如图1），已知遮阳棚DB与竖杆OB垂直，遮阳棚的高度OB＝3米，喷水点A与地面的距离OA＝1米（喷水点A喷出来的水柱呈抛物线型），水柱喷水的最高点恰好是遮阳棚的C处，C到竖杆的水平距离BC＝2米（如图2），此时水柱的函数表达式为，现将遮阳棚BD绕点B向上旋转45°（如图3），则此时水柱与遮阳棚的最小距离为米.（保留根号）

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21. 某游乐园要建一个圆形喷水池，在喷水池的中心安装一个大的喷水头，高度为 $\frac{10}{3}$ m，喷出的水柱沿抛物线轨迹运动（如图），在离中心水平距离4m处达到最高，高度为6m，之后落在水池边缘，那么这个喷水池的直径AB为m.

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22. 如图，斜坡 $A B$ 长10米，按图中的直角坐标系可用 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + 5$ 表示，点A，B分别在x轴和y轴上.在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛线可用 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + b x + c$ 表示.

(1)、求抛物线的表达式及顶点坐标；

(2)、在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？

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23. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计喷灌器喷水口的升降方案
素材1	随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．图1中某庭院内有一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱成抛物线形．图2是该喷灌器OA喷水时的截面示意图，喷水口A点离地高度为0.25m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为2m处达到最高，高度为0.45m，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界B点处．
素材2	为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙建花坛种植绣球花，花坛高0.4m，宽0.8m，侧面用大理石包围，长方形BCDE是花坛截面，如图3．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同，水柱落在花坛的上方DE边上（大理石厚度不计），达到给花坛喷灌的效果．
问题解决
任务1	确定水柱的形状	在图2中，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．
任务2	确定喷灌器的位置	求出喷灌器OA与围墙的距．
任务3	拟定喷头升降方案	调整喷水口的高度，使水柱可以喷灌花坛，求喷水口距离地面高度的最小值．

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$x (m)$	0	0.5	1	1.5	2	…
$y (m)$	0.25	0.4	0.45	0.4	0.25	…