广东省深圳市盐田高级中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-11-06 类型：期中考试

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一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内，每小题5分，共40分）

1. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，点 $(7, \sqrt{2}, 1)$ 关于平面 $O y z$ 的对称点（）

A、 $(- 7, \sqrt{2}, 1)$ B、 $(7, - \sqrt{2}, - 1)$ C、 $(7, 1, \sqrt{2})$ D、 $(- 7, 1, \sqrt{2})$

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2. 若直线 $l$ 的方程为 $y = - \frac{a}{b} x + \frac{c}{b}, a b > 0, a c < 0$ ，则此直线必不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $\vec{a} = (- 2, 1, 3), \vec{b} = (- 1, 1, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{(a} - λ \vec{b})$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{14}{3}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、2

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4. 已知 $M (4, 2)$ 是直线l被椭圆 $x^{2} + 4 y^{2} = 36$ 所截得的线段 $A B$ 的中点，则直线l的方程为（）

A、 $2 x + y - 8 = 0$ B、 $x + 2 y - 8 = 0$ C、 $x - 2 y - 8 = 0$ D、 $2 x - y - 6 = 0$

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5. 已知圆 $M$ 经过 $P (1, 1), Q (2, - 2)$ 两点，且圆心 $M$ 在直线 $l : x - y + 1 = 0$ ，则圆 $M$ 的标准方程是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5$ B、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 13$ C、 ${(x + 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$ D、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$

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6. 在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD为等腰梯形， $A B / / C D, A D = D C = B C = 2$ ， $A B = A_{1} A = 4, E$ 为棱 $A A_{1}$ 的中点，则点 $B$ 到平面 $E D B_{1}$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\frac{2 \sqrt{30}}{5}$

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7. 已知直线 $l_{1} : 2 x + 5 y + 2 = 0$ ，直线 $l_{2}$ 是直线 $l_{1}$ 绕点 $(- 1, 0)$ 逆时针旋转 $45 °$ 得到的直线，则直线 $l_{2}$ 的方程是（）

A、 $3 x - 7 y + 3 = 0$ B、 $3 x - 7 y - 3 = 0$ C、 $7 x - 3 y + 3 = 0$ D、 $7 x - 3 y - 3 = 0$

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8. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， $A B$ 为过点 $F_{1}$ 的弦， $M$ 为 $A F_{1}$ 的中点， $3 \vec{A F_{1}} = 4 \vec{F_{1} B}$ ， $A B ⊥ M F_{2}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{5}{7}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{2}{7}$

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二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分）

9. 点 $P$ 在圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 上，点 $Q$ 在圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y + 24 = 0$ 上，则（）

A、 $| P Q |$ 的最小值为3 B、 $| P Q |$ 的最大值为7 C、两个圆心所在的直线斜率为 $- \frac{4}{3}$ D、两个圆相交弦所在直线的方程为 $6 x - 8 y - 25 = 0$

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10. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E 、 F 、 G$ 分别为 $B C 、 C C_{1} 、 B B_{1}$ 的中点，则下列选项正确的是（）

A、 $D_{1} D ⊥ A F$ B、直线 $A_{1} G$ 与 $E F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、三棱锥 $G - A E F$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ D、存在实数 $λ 、 μ$ 使得 $\vec{A_{1} G} = λ \vec{A F} + μ \vec{A E}$

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11. 已知动点 $P$ 到定点 $F (4, 0)$ 的距离和它到直线 $l : x = \frac{25}{4}$ 的距离的比是常数 $\frac{4}{5}, P$ 点的轨迹称为曲线 $C$ ，直线 $y = k x (k \neq 0)$ 取曲线 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点．则下列说法正确的是（）

A、曲线 $C$ 的方程为： $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{1}{|A F|} + \frac{4}{|B F|}$ 的最小值为1 C、 $O$ 为坐标原点， $|P O| + \frac{5}{4} |P F|$ 的最小值为 $\frac{25}{4}$ D、 $M$ 为曲线 $C$ 上不同于 $A, B$ 的一点，且直线 $M A 、 M B$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，则 $k_{1} \cdot k_{2} = - \frac{9}{25}$

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三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）

12. 若平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (2, 1, 1)$ ，直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ ，则平面 $α$ 与直线 $l$ 所成角的正弦值为．

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13. 当点 $P (- 2, - 1)$ 到直线 $l : (1 + 3 λ) x + (1 + λ) y - 2 - 4 λ = 0 (λ \in R)$ 的距离最大时，此时的直线 $l$ 方程为.

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14. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率e满足 $e = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若 $\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{m} = 1 (10 > m > 0)$ 是“黄金椭圆”，则 $m =$ ；“黄金椭圆” $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 两个焦点分别为 $F_{1} (- c, 0)$ 、 $F_{2} (c, 0)$ （ $c > 0$ ），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，连接PM并延长交 $F_{1} F_{2}$ 于N，则 $\frac{|P M|}{|M N|} =$ ．

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四、解答题（本大题共5个小题，共77分）

15. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AP的长为2，且 $\vec{A P}$ 与 $\vec{A B} 、 \vec{A D}$ 的夹角都等于 $60^{\circ}, M$ 在棱PD上， $\vec{P M} = \frac{1}{3} \vec{P D}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}, \vec{A P} = \vec{c}$ .

(1)、试用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示向量 $\vec{B M}$ ；

(2)、求 $\vec{B M}$ 与 $\vec{A P}$ 的夹角.

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16. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为 $A$ ，且 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = 0$ ．

(1)、求 $C$ 的离心率；

(2)、射线 $A F_{1}$ 与 $C$ 交于点 $B$ ，且 $|A B| = \frac{8}{3}$ ，求 $△ A B F_{2}$ 的周长．

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17. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 为等边三角形，O为线段 $A D$ 的中点且 $P O ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A D = 1$ ， $∠ B A D = ∠ A B C = \frac{π}{2}$ ， E是 $P D$ 的中点.

(1)、证明： $C E / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、点M为棱 $P C$ 的中点，求平面 $M A B$ 与平面 $A B D$ 夹角的余弦值.

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18. 已知圆C： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 与圆 $C^{'}$ ： $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$ .

(1)、求C与 $C^{'}$ 相交所得公共弦长；

(2)、若过点 $A (0, 1)$ 且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = 12$ ，求 $|\vec{P Q}| .$

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19. 在平面直角坐标系中，已知动点 $P (x ， y)$ 到直线 $l : x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 的距离与点 $P$ 到点 $F (\sqrt{3} ， 0)$ 的距离的比是 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

(1)、求动点P的轨迹方程E；

(2)、若轨迹E与x轴的交点分别为 $A 、 B$ .过点 $T (4 ， t) (t \neq 0)$ 的直线 $A T 、 B T$ 分别与轨迹 $E$ 相交于点M和点N，求四边形AMBN面积的最大值.

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