江西省南昌市东湖区南昌市心远中学2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

试卷更新日期：2024-11-20 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）

A、1，2，5 B、2，2，4 C、2，3，5 D、2，3，4

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2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 若 $(x + 2) (x - 3) = x^{2} + m x - 6$ ，则 $m$ 等于（）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $- 1$ D、 $1$

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4. 如图， $B C = B D$ ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 $△ A B C ≌ △ A B D$ 的是（）

A、 $∠ A B C = ∠ A B D$ B、 $∠ C = ∠ D = 90 °$ C、∠CAB＝∠DAB D、 $A C = A D$

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5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，根据尺规作图保留的痕迹，判断下列结论错误的是（）

A、AD是∠BAC的平分线 B、AD=BD C、AD=2CD D、2S_△_ABD=3S_△_ACD

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6. 如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（　　）°（点A，B，P是网格交点）

A、30 B、45 C、60 D、75

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7. 在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠C＝．

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8. 计算： $(15 y^{2} - 5 y) \div 5 y =$ ．

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9. 若 $2 x - 5 y = 3$ ，则代数式 $4 + 4 x - 10 y$ 的值是．

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10. 如图，已知直线l经过点（0，﹣1）并且垂直于y轴，若点P（﹣3，2）与点Q（a，b）关于直线l对称，则a+b＝．

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D在 $B C$ 边上，连接AD，且 $C D = 5, A D = 13$ ，直线EF是边AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则 $△ C D M$ 周长的最小值为．

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12. 如图，在正方形ABCD中，将线段AD绕点A逆时针旋转α°（0＜α＜180）得到线段AE，连接BE、CE．若△EBC是等腰三角形，则α＝．

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三、（本大题共5个小题，每小题6分，共30分）

13. 分解因式：

(1)、 $x^{3} - 9 x$

(2)、 $3 x^{2} - 6 x y + 3 y^{2}$

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14. 先化简，再求值： ${(2 x + 1)}^{2} - x (x - 1) + (x + 2) (x - 2)$ ，其中 $x = 1$ ．

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15. 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，2），B（﹣4，0），C（﹣3，﹣2）．

(1)、在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△DEF，其中点A与点D对应，点B与点E对称；

(2)、连接CD，CE，则△CDE的面积为______．

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16. 请你仅用无刻度的直尺作图．

(1)、已知：四边形 $A B C D$ 是等腰梯形，作出它的对称轴；

(2)、如图， $B E = A E$ ， $A F = C F$ ， $E M ⊥ A B$ ， $N F ⊥ A C$ 于点 $M$ 、 $N$ ，请作出 $△ A B C$ 边 $B C$ 上中线．

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17. 如图，△ABC中，AB＝AC，DE是腰AB的垂直平分线．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若AB＝9，BC＝5，求△BDC的周长．

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四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）

18. 四个全等的长方形（长a，宽b，且a＞b）既可以拼成一个大的长方形（如图1），也可以拼成一个正方形（如图2），通过观察可以发现图2中间空白的部分的面积是 ${(a - b)}^{2}$ ．

(1)、继续观察，请你直接写出代数式 ${(a + b)}^{2}$ 、 ${(a - b)}^{2}$ 、 $a b$ 之间的数量关系；

(2)、根据你得到的关系式解答下列问题：若 $x + y = - 4$ ， $x y = 3$ ，求 $x - y$ 的值．

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19. 如图，A、B两点分别在射线 $O M, O N$ 上，点C在 $∠ M O N$ 的内部，且 $A C = B C$ ， $C D ⊥ O M, C E ⊥ O N$ ，垂足分别为D，E，且 $A D = B E$ ．

(1)、求证： $O C$ 平分 $∠ M O N$ ；

(2)、若 $A D = 3, B O = 4$ ，求 $A O$ 的长．

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20. 已知：如图所示， $△ A B C$ 是边长 $6 cm$ 的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在 $A B 、 B C$ 边上匀速移动，它们的速度分别为 $V_{P} = 2 cm / s$ ， $V_{Q} = 1.5 cm / s$ ，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts．

(1)、当t为何值时， $△ P B Q$ 为等边三角形？

(2)、当t为何值时， $△ P B Q$ 为直角三角形？

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五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）

21. 我们定义：如图1，在四边形 $A B C D$ 中，如果 $∠ A = α$ ， $∠ C = 180 ° - α$ ，对角线 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，我们称这种四边形为“分角对补四边形”．

(1)、特例感知：如图1，在“分角对补四边形” $A B C D$ 中，当 $α = 90 °$ 时，根据教材中一个重要性质直接可得 $D A = D C$ ，这个性质是______；（填序号）
①垂线段最短：②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理

(2)、猜想论证：如图2，当 $α$ 为任意角时，猜想 $D A$ 与 $D C$ 的数量关系，并给予证明；

(3)、探究应用：如图3，在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 100 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，
求证： $B D + A D = B C$ ．

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22. 阅读材料：若 $m^{2} - 2 m n + 2 n^{2} - 8 n + 16 = 0$ ，求 $m$ 、 $n$ 的值．
解：∵ $m^{2} - 2 m n + 2 n^{2} - 8 n + 16 = 0$ ， ∴ $(m^{2} - 2 m n + n^{2}) + (n^{2} - 8 n + 16) = 0$
∴ ${(m - n)}^{2} + {(n - 4)}^{2} = 0$ ， ∴ ${(m - n)}^{2} = 0$ ， ${(n - 4)}^{2} = 0$ ， ∴ $n = 4$ ， $m = 4$ ．
根据你的观察，探究下面的问题：

(1)、已知 $x^{2} - 2 x y + 2 y^{2} + 6 y + 9 = 0$ ，求 $x y$ 的值；

(2)、已知 $△ A B C$ 的三边长 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 都是正整数，且满足 $a^{2} + b^{2} - 10 a - 12 b + 61 = 0$ ，求 $△ A B C$ 的最大边 $c$ 的值；

(3)、已知 $a - b = 8$ ， $a b + c^{2} - 16 c + 80 = 0$ ，求 $a + b + c$ 的值．

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六、（本大题共12分）

23. 如图1，在平面直角坐标系中，A、B坐标为(6，0)、(0，6)，P为线段AB上的一点
（1）如图1，若S_△_AOP＝12，求P的坐标
（2）如图2，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N从顶点O同时出发，且它们的速度都为1 cm/s，则在M、N运动的过程中，线段PM、PN之间有何关系？并证明
（3）如图3，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP、OA分别与F、D两点，E为OA上一点，且∠PEA＝∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由

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