二次函数的线段周长问题—浙教版数学九（上）知识点训练

试卷更新日期：2024-11-23 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，函数 $y = - x^{2} + 12$ 的图象与x轴交于A，B两点，点C是以 $M (0 ， 2)$ 为圆心，2为半径的圆上的动点，P是 $A C$ 的中点，连结 $O P$ ，则线段 $O P$ 的最小值是（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{7}$

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2. 已知抛物线 $y = a x^{2} + 4 a x + 4 a + 1 (a \neq 0)$ 过A（m ， 3），B（n ， 3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式 $a^{2} + a - 1$ 的最小值是(　　)

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{5}{4}$

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二、填空题

3. 如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线 $y = a x^{2}$ 上，过点A、E分别作 $y$ 轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作 $X$ 轴的垂线交线段AB于两点C、D.当点 $E (2 ， 4)$ ，四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为.

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4. 如图，抛物线y=ax²-2ax+3 (a>0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则线段PB的长为.

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5. “一切为了U”是常山在赶考共同富裕道路上，最新确定的城市品牌．已知线段 $A B$ ，对于坐标平面内的一个动点P，如果满足 $∠ A P B = 30 °$ ，则称点P为线段 $A B$ 的“U点”，如图，二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + \frac{5}{2}$ 与x轴交于点A和点B．（1）线段 $A B$ 的长度为；（2）若线段 $A B$ 的“U”点落在y轴的正半轴上，则该“U点”的坐标为．

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三、解答题

6. 如图，抛物线 $y = x^{2} - b x + c$ 交 $x$ 轴于点 $A (1, 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ，对称轴是 $x = 2$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $P$ 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点 $P$ ，使 $△ P A B$ 的周长最小？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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7. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 3, 0)$ 、 $B (4, 0)$ 两点，且 $O B = O C$ ．

(1)、求抛物线解析式；

(2)、点 $H$ 是抛物线对称轴上的一个动点，连接 $A H$ 、 $C H$ 、 $A C$ ，求出当 $△ A C H$ 的周长最小时点 $H$ 的坐标．

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8. 如图，直线 $y = x - 3$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $B$ 、 $A$ ，抛物线 $y = a (x - 2)^{2} + k$ 经过点 $A$ 、 $B$ ，其顶点为 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

(3)、点 $P$ 为直线 $A B$ 上方抛物线上的任意一点，过点 $P$ 作 $P D / / y$ 轴交直线 $A B$ 于点 $D$ ，求线段 $P D$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标．

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9. 如图，直线 $y = x + 2$ 与抛物线 $y = a x^{2} + b x + 6 (a \neq 0)$ 相交于 $A (\frac{1}{2}, \frac{5}{2})$ 和 $B (4, m)$ ，点 $P$ 是线段AB上异于 $A$ 、 $B$ 的动点，过点 $P$ 作 $P C ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，交抛物线于点 $C$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、是否存在这样的 $P$ 点，使线段PC的长有最大值?若存在，求出线段PC的最大值；若不存在，请说明理由；

(3)、当点P在抛物线的对称轴上时，抛物线上存在点 $Q$ ，使得 $△ A B Q$ 的面积恰为 $△ A B D$ 面积的一半，请直接写出点 $Q$ 的坐标.

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10. 如图，已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 经过A，B两点， $B C ⊥ x$ 轴于点C，且点 $A (- 1 ， 0)$ ， $C (4 ， 0)$ ， $A C = B C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点E是线段 $A B$ 上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段 $E F$ 的长度最大时，求点E的坐标．

(3)、点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使 $△ A B P$ 成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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11. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图像与x轴交于点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B (3, 0)$ ，与y轴交于点 $C (0, - 3)$ ．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、如图，点M是直线 $B C$ 下方的二次函数图象上的一个动点，过点M作 $M H ⊥ x$ 轴于点H，交 $B C$ 于点N，求线段 $M N$ 最大时点M的坐标；

(3)、在（2）的条件下，该抛物线上是否存在点Q，使得 $∠ Q C B = ∠ C B M$ ．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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12. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - x - 4$ 与x轴交于点A和B，与y轴交于点C．

(1)、求A、B、C三点坐标；

(2)、如图1，动点P从点A出发，在线段 $A B$ 上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动，同时，动点Q从点B出发，在线段 $B C$ 上以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接 $P Q$ ，设运动时间为t秒，问P、Q两点运动多久后 $△ P B Q$ 的面积S最大，最大面积是多少？

(3)、如图2，点D为抛物线上一动点，直线 $A D$ 交y轴于点E，直线 $B D$ 交y轴于点F，求 $\frac{C E}{C F}$ 的值．

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13. 在平面直角坐标系中，直线 $y = - x - 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 经过 $A$ ， $B$ 两点，并与 $x$ 轴的正半轴交于点 $C$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 满足的关系式及 $c$ 的值；

(2)、当 $a = \frac{1}{4}$ 时，若点 $P$ 是抛物线对称轴上的一个动点，求 $△ A B P$ 周长的最小值；

(3)、当 $a = 1$ 时，若点 $Q (m, n)$ 是直线 $A B$ 下方抛物线上的一个动点，过点 $Q$ 作 $Q D ⊥ A B$ 于点 $D$ ．当 $m$ 取何值时，线段 $Q D$ 取最大值？并求出 $Q D$ 的最大值．

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14. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点 $A (- 1, 0)$ 和点B ，与y轴交于点 $C (0, - 4)$ ，其顶点为D ．

(1)、求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

(2)、在y轴上是否存在一点M ，使得 $△ B D M$ 的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、若点E在以点 $P (3, 0)$ 为圆心，1为半径的⊙P上，连结AE ，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF ，连结BF ．求BF的取值范围．

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15. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图像经过原点和点 $A (4, 0)$ .经过点A的直线与该二次函数图象交于点 $B (1, 3)$ ，与y轴交于点C.

(1)、求二次函数的解析式及点C的坐标；

(2)、点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线 $A B$ 上方时，过点P作 $P E ⊥ x$ 轴于点E ，与直线 $A B$ 交于点D ，设点P的横坐标为m.
①m为何值时线段 $P D$ 的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P ，使得 $△ B P D$ 与 $△ A O C$ 相似.若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由.

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