二次函数与分段函数—浙教版数学九（上）知识点训练

试卷更新日期：2024-11-23 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 现有函数 $y = {\begin{array}{l} x - 4 (x ⩾ a), \\ - x^{2} - 2 x (x < a), \end{array}$ 如果对于任意的实数 $n$ ，直线 $y = n$ 与函数 $y =$ ${\begin{array}{l} x - 4 (x ⩾ a), \\ - x^{2} - 2 x (x < a) \end{array}$ 的图象总有交点，那么实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $- 5 ⩽ a ⩽ 4$ B、 $- 1 ⩽ a ⩽ 4$ C、 $- 4 ⩽ a ⩽ 1$ D、 $- 4 ⩽ a ⩽ 5$

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2. 如图，等腰Rt△ABC（∠ACB＝90°）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止.设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，正方形ABCD的边长是4，点E ， F分别是AB ， AD的中点，点P ， Q为正方形ABCD边上的两个动点，点P从点D出发，沿 $D \to C$ 匀速运动，到达点C时停止运动；同时，点Q从点E出发，沿 $E \to A \to F$ 匀速运动，动点P ， Q速度的大小相同．设点P运动的路程为x ， $△ D P Q$ 的面积为y ，下列图象中能反映y与x之间函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′＝ ${\begin{matrix} y + 1 (x \geq 0) \\ - y (x < 0) \end{matrix}$ ，则称点Q为点P的“亲密点”．例如：点（1，2）的“亲密点”为点（1，3），点（﹣1，3）的“亲密点”为点（﹣1，﹣3）．若点P在函数y＝x²﹣2x﹣3的图象上，则其“亲密点”Q的纵坐标y′关于x的函数图象大致正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

5. 若函数y= ${\begin{array}{l} x^{2} + 2 (x \leq 2) \\ 2 x (x > 2) \end{array}$ ，则当函数值y＝8时，自变量x的值等于.

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6. 在平面直角坐标系xOy中，函数 $y = {\begin{array}{l} x^{2} - n x - 2 n (x > n) \\ - \frac{1}{n} x^{2} - n x + 2 (x \leq n) \end{array}$ （其中 $n \neq 0$ ）的图象记为W，图象W经过点 $A (- 1 ， 4)$ ，则n的值为．

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7. 定义一个运算： $a * b = {\begin{matrix} a^{2} - 2 b (a \geq b) \\ - a^{2} + 2 b (a < b) \end{matrix}$ ，如 $2 * 1 = 2^{2} - 2 \times 1 = 2, - 1 * 2 = - {(- 1)}^{2} + 2 \times 2 = 3$ ．用 $< m >$ 表示大于 $m$ 最小整数，如 $< 1 > = 2, < 3.2 > = 4, < - 3 > = - 2$ ．按照上述规定，若整数 $x$ 满足 $< - 2 * 3 > = < x * 4 > - 6$ ，则 $x$ 的值是．

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三、解答题

8. 某商店销售某种商品的进价为每件 30 元，这种商品在近 60 天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：

时间：第 $x$ （天）

$1 ⩽ x ⩽ 30$

$31 ⩽ x ⩽ 60$
日销售价（元/件）
$0.5 x + 35$
50
日销售量（件）
$124 - 2 x$
$（ 1 ⩽ x ⩽ 60 ， x$ 为整数）
设该商品的日销售利润为 $w$ 元．

(1)、直接写出 $w$ 与 $x$ 的函数关系式

(2)、该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？

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9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm ， AD是△ABC的角平分线．动点P从点A出发，以 $\sqrt{3} c m / s$ 的速度沿折线AD﹣DB向终点B运动．过点P作PQ∥AB ，交AC于点Q ，以PQ为边作等边三角形PQE ，且点C ， E在PQ同侧．设点P的运动时间为t（s）（t＞0），△PQE与△ABC重合部分图形的面积为S（cm²）．

(1)、当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状（不必证明），并直接写出AQ的长（用含t的代数式表示）．

(2)、当点E与点C重合时，求t的值．

(3)、求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．

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10. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，二次函数 $y = a x^{2} + 2 a x - a - 1$ 的图象经过原点．

(1)、求该二次函数的解析式以及顶点坐标；

(2)、将该二次函数的图象在y轴左侧的部分记作W，将W绕原点旋转 $180 °$ 得到 $W^{'}$ ， W与 $W^{'}$ 组成一个新函数的图象．
①若点 $B (b, 1) (b \neq - 1)$ 在该新函数图象上，求b的值；
②若点 $(m, y_{1}), (m + n, y_{2})$ 是新函数图象上两点，若存在 $n \geq 2 + \sqrt{2}$ ，使得 $y_{1} > y_{2}$ ，直接写出m的取值范围．

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11. 如图，二次函数y＝﹣x²+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B ，交y轴于C ．

(1)、求b的值．

(2)、M为函数图象上一点，满足∠MAB＝∠ACO ，求M点的横坐标．

(3)、将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为L ， L与y轴交于点D ，记DC＝d ，记L顶点横坐标为n ．
①求d与n的函数解析式．
②记L与x轴围成的图象为U ， U与△ABC重合部分（不计边界）记为W ，若d随n增加而增加，且W内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出n的取值范围．

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12. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数 $M > 0$ ，对于任意的函数值 $y$ ，都满足 $- M \leq y \leq M$ ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的 $M$ 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1）分别判断函数 $y = \frac{1}{x}$ $(x > 0)$ 和 $y = x + 1 (- 4 < x \leq 2)$ 是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；
（2）若函数 $y = - x + 1 (a ⩽ x ⩽ b, b > a)$ 的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求 $b$ 的取值范围；
（3）将函数 $y = x^{2} (- 1 \leq x \leq m ， m \geq 0)$ 的图象向下平移 $m$ 个单位，得到的函数的边界值是 $t$ ，当 $m$ 在什么范围时，满足 $\frac{3}{4} \leq t \leq 1$ ？

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13. 对于函数定义变换：当y≥0时，函数值不变；当y＜0时，我们把这种变换称为函数的“关联变换”，变换后的函数称为原函数的“关联函数”
如：一次函数y=x﹣1，关联函数为 $y = \{\begin{matrix} x - 1 (x \geq 1) \\ - x +1(x <1) \end{matrix}$ ，这个关联函数的转折点是（1，0）．

(1)、已知一次函数y=2x﹣3，请直接写出它的“关联函数”的解析式．

(2)、已知二次函数y= $x^{2}$ ﹣2x﹣3，点（a，4）在它的“关联函数”的图象上，求a的值．

(3)、在平面直角坐标系内，有点M（﹣1，1）、N（3，1），二次函数y= $x^{2}$ ﹣2x+a的关联函数与线段MN恰有两个公共点．求a的取值范围

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14. 在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式 $-$ 画函数图象 $-$ 利用函数图象研究函数性质 $-$ 利用图象解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数 $y_{1} = \{\begin{array}{l} - x^{3} - 3 x^{2} + a (x < 1) \\ b x - \frac{1}{2} (x \geq 1) \end{array}$ 的性质及其应用的部分过程，请你按要求完成下列问题

(1)、列表：函数自变量 $x$ 的取值范围是全体实数，下表列出了变量 $x$ 与 $y$ 的几组对应数值：

$x$

$\dots$

$- 3$

$- \frac{5}{2}$

$- 2$

$- 1$

$- \frac{1}{2}$

$0$

$\frac{1}{2}$

$1$

$2$

$3$

$\dots$

$y$

$\dots$

$4$

$\frac{7}{8}$

$0$

$2$

$\frac{27}{8}$

$4$

$\frac{25}{8}$

$0$

$\frac{1}{2}$

$1$

$\dots$
根据表格中的数据直接写出 $y$ 与 $x$ 的函数解析式及对应的自变量 $x$ 的取值范围；

(2)、描点、连线：在右侧的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质： ▲ ；

(3)、已知函数 $y_{2} = x + 3$ 的图象如图，结合函数图象，请直接写出当 $y_{1} = y_{2}$ 时，自变量 $x$ 的值． $($ 结果保留 $1$ 位小数，误差不超过 $0.2)$

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15. 如图所示，图象G由图象 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 组成，其中图象 $G_{1}$ 是函数 $y_{1} = x^{2} - 2 x (x \leq 2)$ 的图象，图象 $G_{2}$ 是函数 $y_{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 (x > 0)$ 的图象．

(1)、若点 $(3, p)$ 在图象G上，求p的值；

(2)、已知直线l与x轴平行，且与图象G有三个不同的交点，从左至右依次为点A、B、C ，若 $A B = 1$ ，求点C的坐标；

(3)、当图象G上的点 $(x, y)$ 满足 $- 1 \leq y \leq 3$ 时，记此时x的取值范围为M ．设 $y_{3} = - \frac{1}{2} x^{2} + m x - 1$ ，若在M中总存在 $x_{0}$ ，使得 $y_{3} > 2$ ，求此时实数m的取值范围．

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16. 如图，已知经过点 $A (- 2 ， 0)$ 和 $B (x ， 0) (x > - 2)$ 的抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{2} m x + n (m > 0)$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $C D ∥ x$ 轴交抛物线于点 $D$ ．

（备用图）

(1)、请用含 $m$ 的代数式表示 $n$ 和点 $D$ 的坐标；

(2)、设直线 $E F$ 垂直平分 $O C$ ，垂足为 $E$ ，交该抛物线的对称轴于点 $F$ ，连接 $C F$ ， $D F$ ， $∠ C F D = 90 °$ ，求 $m$ 的值；

(3)、若在（2）的条件下，若点 $Q$ 是抛物线上在 $y$ 轴右侧的一个动点，其横坐标为 $t$ ，点 $Q$ 到抛物线对称轴和直线 $C D$ 的距离分别是 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ，且 $d = d_{1} - d_{2}$ ， ①求 $d$ 关于 $t$ 的函数解析式；②当 $0 < d ≤ 1$ 时，直接写出 $t$ 的取值范围．

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17. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 6$ 与x轴交于点 $A (2 ， 0)$ ， $B (- 6 ， 0)$ 两点，交y轴于点C ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图2，连接BC ，点P为BC下方抛物线上一点，连接PB ， PC ，若设 $△ P B C$ 的面积为S ，点P的横坐标为t ，求s与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；

(3)、在（2）的条件下，如图3，点Q为BC上一点，连接PQ并延长交x轴于点E ，延长PB至点D ，连接QD交x轴于点M ， $B D = Q E$ ，点M为QD中点，连接AC ，点F在AC上，连接EF ， $K F ⊥ E F$ 交BC于点K ，连接EK ， EH平分 $∠ F E K$ 交FK于点H ， $H T ∥ E K$ 交EF于点T ， $T G ⊥ E K$ 于点G ，若 $T H + E G = A E$ ， $∠ E F A = ∠ P B E$ ，求点P的坐标．

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18. 定义：经过函数图象上的一点作x轴的平行线，将平行线上方的图像沿平行线向下翻折形成新的函数图象，我们把满足这种情况的函数图象称为经过这一点的“折叠函数”．

(1)、【基本应用】
(ⅰ)如图，点 $A (3,0)$ 、 $B (0,3)$ 、 $C (m, 2)$ 均在直线l上．
①请使用无刻度的直尺和圆规作出经过点C的“折叠函数”与x轴的交点D（异于点A）；
②求出经过点A、C、D的二次函数表达式；
(ⅱ)在（ⅰ）的条件下，点 $P (a, b)$ 为二次函数图象上一动点，若经过点P的“折叠函数”与x轴至少有3个交点，求a的取值范围．

(2)、【创新应用】如果反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图像上有一点 $M (1,3)$ ，则经过点M的“折叠函数”与x轴的交点坐标为．

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	时间：第 $x$ （天）
	$1 ⩽ x ⩽ 30$	$31 ⩽ x ⩽ 60$
日销售价（元/件）	$0.5 x + 35$	50
日销售量（件）	$124 - 2 x$

$x$	$\dots$	$- 3$	$- \frac{5}{2}$	$- 2$	$- 1$	$- \frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$3$	$\dots$
$y$	$\dots$	$4$	$\frac{7}{8}$	$0$	$2$	$\frac{27}{8}$	$4$	$\frac{25}{8}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\dots$


	（备用图）