二次函数与一元二次方程—浙教版数学九（上）知识点训练

试卷更新日期：2024-11-23 类型：复习试卷

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一、基础夯实

1. 如图，抛物线 $y = a x^{2}$ 与直线 $y = k x + b$ 的两个交点坐标分别为 $A (- 1, 1)$ ， $B (3, 9)$ ，则方程 $a x^{2} = k x + b$ 的解是（）

A、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 1$ B、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 3$ C、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 9$ D、 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = 9$

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2. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象上部分点的坐标 $(x, y)$ 对应值列表如下，则关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + 2 = 0$ 的解是（）
$x$
…
$0$
$500$
$2000$
…
$y$
…
$1$
$- 1$
$1$
…

A、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 2000$ B、 $x_{1} = x_{2} = 500$ C、 $x_{1} = x_{2} = 1000$ D、 $x_{1} = 500$ ， $x_{2} = 1500$

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3. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的 $y$ 与 $x$ 的部分对应值如表：

$x$

$\dots$

$- 1$

$0$

$1$

$3$

$\dots$

$y$

$\dots$

$- 3$

$1$

$3$

$1$

$\dots$
则下列判断中正确的是（）

A、抛物线开口向上 B、抛物线与 $y$ 轴交于负半轴 C、当 $x = 4$ 时， $y > 0$ D、方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的正根在 $3$ 与 $4$ 之间

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4. 抛物线y＝x²＋ax＋3的对称轴为直线x＝1.若关于x的方程x²＋ax＋3﹣t＝0（t为实数），在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（）

A、6＜t＜11 B、t≥2 C、2≤t＜11 D、2≤t＜6

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5. 已知m=6，关于x的一元二次方程(x+3)(x－4)－m＝0的解为x₁ ， x₂（x₁＜x₂），则下列结论正确的是（）

A、x₁＜－3＜4＜x₂ B、－3＜x₁＜4＜x₂ C、－3＜x₁＜x₂＜4 D、x₁＜－3＜x₂＜4

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6. 二次函数y＝ax²－2ax＋c的图象经过(－1，0)，则方程ax²－2ax＋c＝0的解为．

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7. 已知二次函数 $y = a x ² + b x + c (a \neq 0) .$

(1)、当a=2时，
①若该函数图象的对称轴为直线x=1，且过点(0，3)，求该函数的表达式；
②若方程 $a x ² + b x + c = 0$ 有两个相等的实数根，求证：2b+8c≥-1；

(2)、若 $a = - \frac{b}{4} = \frac{c}{3},$ 已知点 $M (2, \frac{a}{2} + 2),$ 点 $N (4, \frac{a}{2} + 2)$ 在平面直角坐标系中，当二次函数 $y = a x ² + b x + c$ 的图象与线段MN有交点时，求a的取值范围。

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8. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (m + 1) x + \frac{1}{2} (m^{2} + 1) = 0$

(1)、若该方程有实数根，求m的值.

(2)、对于函数 $y_{1} = x^{2} - (m + 1) x + \frac{1}{2} (m^{2} + 1) ，$ 当x>1时，y₁随x的增大而增大.
①求m的取值范围.
②若函数y₂=2x+n与函数y₁的图象相交于y轴上同一点，求n的最小值。

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二、能力提升

9. 已知直线y＝kx＋1与抛物线y＝x²交于点A、B，与抛物线y＝x²＋2x－1交于点C、D．若AB＝CD，则k的值为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、－2

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10. 三个方程 $- 99 (x + 1) (x - 2) = 1$ ， $- 100 (x + 1) (x - 2) = 1$ ， $- 101 (x + 1) (x - 2) = 1$ 的正根分别记为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $x_{1} > x_{3} > x_{2}$ B、 $x_{1} > x_{2} > x_{3}$ C、 $x_{3} > x_{2} > x_{1}$ D、 $x_{2} > x_{1} > x_{3}$

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11. 已知关于x的一元二次方程 $(x - 2) (x - 3) = m$ 有实根x₁ ， x₂ ，且x₁＜x₂ ，现有下列说法： ①当m=0时，x₁=2，x₂=3；②当m>0时，2＜x₁＜x₂＜3；③ $m > - \frac{1}{4}$ ；④二次函数 $y = (x - x_{1}) (x - x_{2}) - m$ 的图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（3，0）. 其中正确的有.

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12. 已知二次函数y=a（x-x₁）（x-x₂）与x轴的交点是（1，0）和（3，0），关于x的方程a（x-x₁）（x-x₂）=m（m>0）的两个解分别为-1和5，关于x的方程a（x-x₁）（x-x₂）=n（其中m>n>0）也有两个整数解，则这两个整数解分别是．

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13. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a, b, c$ 是常数， $a \neq 0)$ 的图象经过点 $(- 1, 2)$ .

(1)、若抛物线的顶点为 $(1, - 2)$ ，求函数的表达式.

(2)、在（1）的条件下，若函数图象过点 $A (k, p), B (- 4 - k, q)$ ，求证： $p + q ⩾ 14$ .

(3)、若函数图象经过点 $(m, 0), (n, 0)$ ，其中 $m > 2$ ，且关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = - 2 x$ 有两个相等的实数根，求 $n$ 的取值范围.

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14. 在学习二次函数与一元二次方程时，从二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象可得如下结论．
如果抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴有公共点的横坐标是 $x_{0}$ ，那么当x＝ $x_{0}$ 时，函数值是0，因此 $x = x_{0}$ 是方程 $y = a x^{2} + b x + c$ 的一个根．
同学们，请你结合所学的数学知识解决下列问题

(1)、若二次函数 $y = x^{2} + (m - 3) x + 1 - 2 m$ （m为常数）与x轴两交点的横坐标为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{1} + x_{2} = 4$ ，求二次函数的解析式；

(2)、不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，求定点的坐标；

(3)、在（1）的条件下，当 $x = n$ ， $q$ 时，对应的函数值为N，Q，若 $| n - q | = 3$ 求证： $2 （ N ＋ Q ） \geq 5$

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三、拓展创新

15. 规定：若点 $A$ 在某一个函数的图象上，且点 $A$ 的横纵坐标互为相反数，则称点 $A$ 为这个函数的“互反点”．若关于 $x$ 的二次函数 $y = m x^{2} + (n - 2) x - 3 n$ 对于任意的常数 $n$ ，恒有两个“互反点”，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $\frac{1}{2} < m < 1$ B、 $0 < m < \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3} < m < \frac{1}{2}$ D、 $0 < m < \frac{1}{3}$

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16. 对于实数a，b，定义运算“*”： $a*b = a^{2} － ab (a \leq b)$ ； $a*b = b^{2} － ab (a > b)$ ，关于x的方程 $(2 x － 1) * (x － 1) = m$ 恰好有三个不相等的实数根，则m的取值范围是．

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17. 若定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数” $y = x + 1$ ，其“明德点”为 $(1 ， 2)$ .

(1)、①判断：函数 $y = 2 x + 3$ “明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数 $y = x^{2}$ 的图像上的明德点是；

(2)、若抛物线 $y = (m - 1) x^{2} + m x + \frac{1}{4} m$ 上有两个“明德点”，求 $m$ 的取值范围；

(3)、若函数 $y = x^{2} + (m - k + 2) x + \frac{n}{4} - \frac{1}{2} k$ 的图象上存在唯一的一个“明德点”，且当 $- 1 \leq m \leq 3$ 时， $n$ 的最小值为 $k$ ，求 $k$ 的值.

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$x$	$\dots$	$- 1$	$0$	$1$	$3$	$\dots$
$y$	$\dots$	$- 3$	$1$	$3$	$1$	$\dots$

$x$	…	$0$	$500$	$2000$	…
$y$	…	$1$	$- 1$	$1$	…