二次函数图象的翻折变换—浙教版数学九（上）知识点训练

试卷更新日期：2024-11-23 类型：复习试卷

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一、基础夯实

1. 与抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 4$ 关于x轴对称的抛物线的解析式表示为（）

A、 $y = - x^{2} + 2 x + 4$ B、 $y = - x^{2} + 2 x - 4$ C、 $y = x^{2} - 2 x + 4$ D、 $y = - x^{2} - 2 x - 4$

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2. 已知抛物线 $C$ ： $y = {(x + 2)}^{2} + 1$ ，将抛物线 $C$ 平移得到抛物线 $C^{'}$ ，若两条抛物线C和 $C^{'}$ 关于直线 $x = 1$ 对称，则下列平移方法中，正确的是（）

A、将抛物线C向右平移3个单位 B、将抛物线C向右平移6个单位 C、将抛物线C向左平移3个单位 D、将抛物线C向左平移6个单位

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3. 在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=x²+（2m-1）x+2m-4与y=x²-（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m ， n的值为（）

A、 $m = \frac{5}{7}$ ， n=- $\frac{18}{7}$ B、m=5，n=-6 C、m=-1，n=6 D、m=1，n=-2

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4. 在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝2x²﹣4x关于y轴作轴对称变换，再将所得的抛物线，绕它的顶点旋转180°，那么经两次变换后所得的新抛物线的函数表达式为（）

A、y＝﹣2x ^{$^{2}$} ﹣4x B、y＝﹣2x ^{$^{2}$} +4x C、y＝﹣2x ^{$^{2}$}﹣4x﹣4 D、y＝﹣2x ^{$^{2}$} +4x+4

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5. 抛物线C₁：y=x²+1与抛物线C₂关于x轴对称，则抛物线C₂的解析式为（）

A、y=-x² B、y=-x²+1 C、y=x²-1 D、y=-x²-1

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6. 将抛物线y=x²-12x+16作关于X轴对称．所得抛物线的解析式是。

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7. 在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x²＋2x－1的图象先沿x轴翻折，再向下平移3个单位，所得到的新的函数图象的解析式是．

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8. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x²﹣2mx+m²﹣1与y轴交于点C．
（1）试用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线y＝x²﹣2mx+m²﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D．若m＞0，CD＝8，求m的值；
（3）已知A（2k，0），B（0，k），在（2）的条件下，当线段AB与抛物线y＝x²﹣2mx+m²﹣1只有一个公共点时，直接写出k的取值范围．

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二、能力提升

9. 将抛物线 $y = x^{2} + x - 6$ 位于 $y$ 轴左侧的部分沿 $x$ 轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线 $y = \frac{1}{2} x + t$ 与新图象有且只有2个公共点，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $- 6 < t \leq 6$ B、 $- 6 < t < 6$ C、 $t = \frac{97}{16}$ 或 $- 6 \leq t < 6$ D、 $t = \frac{105}{16}$ 或 $- 6 \leq t < 6$

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10. 将抛物线y＝x²+x﹣6位于y轴左侧的部分沿x轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线 $y = \frac{1}{2} x + t$ 与新图象有且只有2个公共点，则t的取值范围是（）

A、﹣6<t≤6 B、﹣6<t<6 C、 $t = \frac{97}{16}$ 或﹣6≤t<6 D、 $t = \frac{105}{16}$ 或﹣6≤t≤6

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11. 如图，将抛物线 $y = - x^{2} - 4 x + 2 (x \leq 0)$ 沿 $y$ 轴翻折，翻折前后的两条抛物线构成一个新图象．若直线 $y = x + m$ 与这个新图象有3个公共点，则 $m$ 的值为（）

A、 $2 + \sqrt{6}$ 或2 B、 $\frac{17}{4}$ 或2 C、2或4 D、 $\frac{17}{4}$ 或4

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12. 将二次函数y＝x²﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（）

A、﹣ $\frac{73}{4}$ 或﹣12 B、﹣ $\frac{73}{4}$ 或2 C、﹣12或2 D、﹣ $\frac{69}{4}$ 或﹣12

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13. 将二次函数y＝﹣x²＋2x＋3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线y＝x＋b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（）

A、 $- \frac{13}{4}$ 或﹣2 B、 $- \frac{21}{4}$ 或﹣2 C、 $- \frac{21}{4}$ 或﹣3 D、 $- \frac{13}{4}$ 或﹣3

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14. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + 2 a x - 3 a$ （a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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15. 如图，已知函数y=x²-2x-1(0≤x≤4)的图象，过点(0，m)且与x轴平行的直线l与该函数有交点，将该函数在直线l下方的图象沿直线l向上翻折，在直线l上方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是。

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16. 已知抛物线L：y= $\frac{1}{4}$ x²+ $\frac{3}{2}$ x+c经过点M(2，0)，现将抛物线L沿x轴翻折，并向左平移1个单位长度后得到抛物线L₁。

(1)、求抛物线L₁的解析式.

(2)、若抛物线L与x轴交于A，B两点(点B在点A右侧)，点E在抛物线L₁对称轴上一点，O为坐标原点，则抛物线L上是否存在点P，使以A，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

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17. 如图，已知抛物线C₁：y＝﹣x²+4，将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C₂

(1)、求出抛物线C₂的函数表达式；

(2)、现将抛物线C₁向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C₂向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.

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18. 如图所示，将二次函数y=x²+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到二次函数y=ax²+bx+c的图象.函数y=x²+2x+1的图象的顶点为点A.函数y=ax²+bx+c的图象的顶点为点C，两函数图象分别交于B、D两点.

(1)、求函数y=ax²+bx+c的解析式；

(2)、如图2，连接AD、CD、BC、AB，判断四边形ABCD的形状，并说明理由.

(3)、如图3，连接BD，点M是y轴上的动点，在平面内是否存在一点N，使以B、D、M、N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.

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三、拓展创新

19. 如图，“心”形是由抛物线 $y = - x^{2} + 6$ 和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D，点A，B是两条抛物线的两个交点，直线AB为“心”形对称轴，点E，F，G 是抛物线与坐标轴的交点，则AB=（）

A、 $6 \sqrt{3}$ B、8 C、10 D、 $10 \sqrt{3}$

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20. 定义：经过函数图象上的一点作x轴的平行线，将平行线上方的图像沿平行线向下翻折形成新的函数图象，我们把满足这种情况的函数图象称为经过这一点的“折叠函数”．

(1)、【基本应用】
(ⅰ)如图，点 $A (3,0)$ 、 $B (0,3)$ 、 $C (m, 2)$ 均在直线l上．
①请使用无刻度的直尺和圆规作出经过点C的“折叠函数”与x轴的交点D（异于点A）；
②求出经过点A、C、D的二次函数表达式；
(ⅱ)在（ⅰ）的条件下，点 $P (a, b)$ 为二次函数图象上一动点，若经过点P的“折叠函数”与x轴至少有3个交点，求a的取值范围．

(2)、【创新应用】如果反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图像上有一点 $M (1,3)$ ，则经过点M的“折叠函数”与x轴的交点坐标为．

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21. 如图，函数 $y_{1} = a (x + 1)^{2} + 2 (x \leq 0)$ 的图象过原点，将其沿y轴翻折，得到函数 $y_{2}$ 的图象，把函数 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的图象合并后称为函数L的图象．

(1)、a的值为；函数 $y_{2}$ 的解析式为（注明x的取值范围）；对于函数L，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是；

(2)、当直线 $y = x + b$ 与函数L的图象有4个交点时，求b的取值范围．

(3)、坐标系中有一个正方形 $A B C D$ ，其中 $A (3 ， 1) ， B (4 ， 1)$ ，将函数L的图象沿y轴的正方向平移m个单位，直接写出当其与正方形的 $C D$ 边有公共点时m的最大值与最小值的差．

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22. 如图，已知抛物线 $y = x^{2} - x - 2$ 交 $x$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点，将该抛物线位于 $x$ 轴下方的部分沿 $x$ 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象 $W$ ”，图象 $W$ 交 $y$ 轴于点 $C$ .

(1)、写出图象 $W$ 位于线段 $A B$ 上方部分对应的函数关系式；

(2)、若直线 $y = - x + b$ 与图象 $W$ 有三个交点，请结合图象，直接写出 $b$ 的值；

(3)、 $P$ 为 $x$ 轴正半轴上一动点，过点 $P$ 作 $P M ∥ y$ 轴交直线 $B C$ 于点 $M$ ，交图象 $W$ 于点 $N$ ，是否存在这样的点 $P$ ，使 $△ C M N$ 与 $△ O B C$ 相似？若存在，求出所有符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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