二次函数图象共存问题—浙教版数学九（上）知识点训练

试卷更新日期：2024-11-23 类型：复习试卷

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一、二次函数与一次函数图象共存

1. 函数 $y = a x - 2 (a > 0)$ 与 $y = a x^{2} (a > 0)$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 当ab＜0时，y＝ax^{$^{2}$}与y＝ax＋b的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 函数 $y = b x + a$ 和 $y = a x^{2} + b x$ 在同一平面直角坐标系内的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 在同一直角坐标系中，一次函数 $y = a x + c$ 和二次函数 $y = a (x - c)^{2}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 函数y＝kx+k和函数y＝﹣kx²+4x+4（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、二次函数与反比例函数图象共存

6. 若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象在第二、四象限，则二次函数 $y = k x^{2} - k x -$ $k$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图象在二、四象限，则二次函数 $y = k x^{2} - 2 x$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象如图所示，则二次函数y＝2kx²﹣4x+k²的图象大致是（　　）

A、 B、 C、 D、

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9. 反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 与二次函数 $y = - k x^{2} + k (k \neq 0)$ 在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k$ 是常数，且 $k \neq 0)$ 与二次函数 $y = - k x^{2} + k^{2}$ 在同一坐标系内的大致图象是（）

A、 B、
C、 D、

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三、一次函数、反比例函数、二次函数图象共存

11. 已知反比例函数 $y = \frac{a b}{x}$ 的图象如图所示，则二次函数 $y = a x^{2} - 2 x$ 和一次函数 $y = b x + a$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 $($ 　　 $)$

A、 B、 C、 D、

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12. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = b x + c$ 与反比例函数 $y = \frac{a + b}{x}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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13. 根据如图所示的二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象，判断反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 与一次函数 $y = b x + c$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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14. 已知反比例函数y= $\frac{k}{x} (k \neq 0)$ 在第一象限内的图象与一次函数y=-x+b的图象如图所示，则函数 $y = x^{2} - b x + k - 1$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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15. 一次函数 $y = x - 2 n + 4$ ，二次函数 $y = x^{2} + (n - 1) x - 3$ ，反比例函数 $y = \frac{n + 1}{x}$ 在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（）

A、 $n > - 1$ B、 $n > 2$ C、 $- 1 < n < 1$ D、 $1 < n < 2$

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16. 王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（）的图象上.
x
……
1
2
4
……
y
……
$m$
$2 - m$
$- 3 m^{2} + 5 m - 1$
……

A、一次函数和反比例函数 B、二次函数和反比例函数 C、一次函数和二次函数 D、一次函数和二次函数和反比例函数

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四、两个不同的二次函数图象与性质综合

17. 若二次函数y＝x²+ $\frac{1}{2}$ 与y＝－x²+k的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（）

A、这两个函数图象有相同的对称轴 B、这两个函数图象的开口方向相反 C、方程－x²+k＝0没有实数根 D、二次函数y＝－x²＋k的最大值为 $\frac{1}{2}$

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18. 两个不同的二次函数 $y = k x^{2} - x$ 与 $y = - x^{2} + k x$ 的图象有相同的对称轴，则下列结论不正确的是（）

A、这两个函数图象的开口方向相反 B、这两个函数图象的都经过点 $(1 ， 0)$ C、这两个函数图象的关于 $x$ 轴对称 D、二次函数 $y = - x^{2} + k x$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$

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19. 甲、乙两个二次函数分别为y＝（x+20）²+60、y＝﹣（x﹣30）²+60，判断下列叙述何者正确？（　　）

A、甲有最大值，且其值为x＝20时的y值 B、甲有最小值，且其值为x＝20时的y值 C、乙有最大值，且其值为x＝30时的y值 D、乙有最小值，且其值为x＝30时的y值

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20. 已知二次函数 $y_{1} = (x + m) (x - m - 3) (m$ 为常数 $)$ 图象上两个不同的点 $A (x_{1}, p)$ ， $B (x_{2}, q)$ ，且 $x_{1} < x_{2} .$ 有以下四个结论： $①$ 该二次函数图象与 $x$ 轴一定有两个不同的交点； $②$ 若一次函数 $y_{2} = k x + b (k \neq 0)$ 经过点 $A$ ， $B$ ，则当 $x_{1} < x < x_{2}$ 时，总有 $y_{1} < y_{2}$ ； $③$ 当 $p = q$ 时， $x_{1} + x_{2} = 3$ ； $④$ 当 $p < q$ 时， $x_{1} + x_{2} < 3$ ；以上结论中正确的是( )

A、 $① ②$ B、 $② ③$ C、 $③ ④$ D、 $② ④$

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21. 如图，两个二次函数的图象，其顶点P ， Q都在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A ， B ， C ， D四点，若 $A B = 12 ， B C = 6 ， C D = 8$ ，则 $P Q$ 的长度为．

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22. 定义：若两个二次函数 $y_{1} ， y_{2}$ 的图象关于 $x$ 轴对称，则称 $y_{1} ， y_{2}$ 互为“对称二次函数”.

(1)、已知二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 1$ ，则它的“对称二次函数”的顶点坐标为.

(2)、已知关于 $x$ 的二次函数 $y_{1} = - 2 x^{2} + 4 m x + 3 m - 2$ 和 $y_{2} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，其中 $y_{1}$ 的图象经过点 $(2 ， 1)$ .若 $y_{1} + y_{2}$ 与 $y_{1}$ 互为“对称二次函数”，求函数 $y_{2}$ 的表达式；

(3)、在(2)的条件下，当 $n ⩽ x ⩽ n + 1$ 时， $y_{2}$ 的最小值为-2，请直接写出 $n$ 的值.

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23. 如图，某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式 $y = x^{2} + b x + c$ （b ， c为常数），通过输入不同的b、c的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线．若所得抛物线 $L_{1}$ 恰好经过 $O (0, 0)$ 和 $A (2, 0)$ 两点，解决下列问题．

(1)、求与抛物线 $L_{1}$ 相对应的b、c的值；

(2)、若把抛物线 $L_{1}$ 相对应的b、c的值交换后，再次输入得到新的抛物线 $L_{2}$ ，求抛物线 $L_{2}$ 与x轴交点的坐标，并说明抛物线 $L_{2}$ 是否经过 $L_{1}$ 的顶点；

(3)、另有直线l： $y = n$ 与抛物线 $L_{1}$ 交于点P ， Q ，与抛物线 $L_{2}$ 交于点M ， N ，若 $\frac{M N}{P Q}$ 的值是整数，请直接写出n的最大值．

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24. 定义：两个二次项系数之和为 $1$ ，对称轴相同，且图像与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如： $y = 2 x^{2} + 4 x - 5$ 的友好同轴二次函数为 $y = - x^{2} - 2 x - 5$ .

(1)、函数 $y = \frac{1}{4} x^{2} - 2 x + 3$ 的友好同轴二次函数为.

(2)、当 $- 1 \leq x \leq 4$ 时，函数 $y = (1 - a) x^{2} - 2 (1 - a) x + 3$ $(a \neq 0 且 a \neq 1)$ 的友好同轴二次函数有最大值为 $5$ ，求 $a$ 的值.

(3)、已知点 $(m ， p) ， (m ， q)$ 分别在二次函数 $y_{1} = a x^{2} + 4 a x + c (a > \frac{1}{2} 且 a \neq 1 ）$ 及其友好同轴二次函数 $y_{2}$ 的图像上，比较 $p ， q$ 的大小，并说明理由.

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25. 阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数y＝a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁、b₁、c₁是常数）与y＝a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂、b₂、c₂是常数）满足a₁+a₂＝0，b₁＝b₂ ， c₁+c₂＝0，则这两个函数互为“旋转函数”.求函数y＝2x²﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x²﹣3x+1可知，a₁＝2，b₁＝﹣3，c₁＝1，根据a₁+a₂＝0，b₁＝b₂ ， c₁+c₂＝0，求出a₂ ， b₂ ， c₂就能确定这个函数的旋转函数.

请思考小明的方法解决下面问题：

(1)、写出函数y＝x²﹣4x+3的旋转函数.

(2)、若函数y＝5x²+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x²﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）²⁰²⁰的值.

(3)、已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A₁、B₁、C₁ ，试求证：经过点A₁、B₁、C₁的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”.

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x	……	1	2	4	……
y	……	$m$	$2 - m$	$- 3 m^{2} + 5 m - 1$	……