浙江省嘉兴市八校联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-11-14 类型：期中考试

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一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个合题目要求的．

1. 设集合 $A = \{x |- 2 < x < 1\}, B = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{0\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{- 1, 0, 1\}$

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2. 已知1， $\frac{1}{2}$ 是方程 $x^{2} - b x + a = 0$ 的两个根，则 $a$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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3. “ $x - 1 = 0$ ”是“ $x^{2} - 1 = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知幂函数 $y = x^{a}$ 的图象过点 $(9, 3)$ ，则 $a$ 等于（）

A、3 B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 已知 $a = 3^{0.2}, b = 3^{0.5}, c = \log_{0.2} 5$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < c < b$

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6. 方程 $2 x + ln x - 5 = 0$ 的解所在区间为（）

A、 $(4, 5)$ B、 $(3, 4)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(1, 2)$

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7. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - 2$ ，则函数 $y = |f (x)|$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，且在 $[0, 1)$ 为减函数，在 $[1, + \infty)$ 为增函数，且 $f (2) = 0$ ，则不等式 $(x + 1) f (x) \geq 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 2] \cup [0, 1] \cup [2, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1] \cup [0, 1] \cup [2, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2] \cup [- 1, 0] \cup [1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2] \cup [- 1, 0] \cup [2, + \infty)$

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二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 下列叙述正确的是（）

A、 $\exists x \in R, x^{2} - 2 x - 3 > 0$ B、命题“ $\exists x \in R, 1 < y \leq 2$ ”的否定是“ $\forall x \in R, y \leq 1$ 或 $y > 2$ ” C、设 $x, y \in R$ ，则“ $x \geq 2$ 且 $y \geq 2$ ”是“ $x^{2} + y^{2} \geq 4$ ”的必要不充分条件 D、命题“ $\forall x \in R, x^{2} > 0$ ”的否定是真命题

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10. 已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ，集合 $B = \{x - y |x \in A, y \in A\}$ ，则（）

A、 $A \cap B = \{1, 2, 3\}$ B、 $A \cup B = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ C、 $0 \in B$ D、 $- 1 \in B$

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11. 下列说法不正确的是（）

A、函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 在定义域内是减函数 B、若 $g (x)$ 是奇函数，则一定有 $g (0) = 0$ C、已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - a x - 5 (x \leq 1) \\ \frac{a}{x} (x > 1) \end{array}$ 在 $R$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围是 $[- 3, - 1]$ D、若 $f (x)$ 的定义域为 $[- 2, 2]$ ，则 $f (2 x - 1)$ 的定义域为 $[- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 2, x \leq 1 \\ 2 x + 3, x > 1 \end{array}$ ，则 $f (f (- 2))$ 的值是．

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13. 计算： $π^{0} + e^{\ln 2} - (\lg 25 + 2 \lg 2) =$ ．

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14. $\forall x \in R$ ，用 $m (x)$ 表示 $f (x), g (x)$ 中的最小者，记为 $m (x) = min \{f (x), g (x)\}$ ， $m (x) = min \{- x + 1, - {(x - 1)}^{2}\}$ ，则 $m (x)$ 的最大值为．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15. 已知集合 $A = {x | 1 < x < 3}$ ，集合 $B = {x | 2 m < x < 1 - m}$ .

(1)、当 $m = - 1$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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16. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 3 (a \in R)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 2]$ 上是减函数，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $x \in [- 1, 1]$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的最小值．

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17. 已知函数 $f (x) = x + \frac{a}{x}$ ，且 $f (1) = 2$ ．

(1)、求 $a$ ；

(2)、根据定义证明函数 $f (x)$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上单调递增；

(3)、在区间 $(1, + \infty)$ 上，若函数 $f (x)$ 满足 $f (a + 2) > f (2 a - 1)$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = \ln (1 - x) - \ln (1 + x)$ ，记集合 $A$ 为 $f (x)$ 的定义域．

(1)、求集合 $A$ ；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(3)、当 $x \in A$ 时，求函数 $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} + 2 x}$ 的值域．

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19. 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当 $t \in (0, 14]$ 时，曲线是二次函数图象的一部分，当 $t \in [14, 45]$ 时，曲线是函数 $y = \log_{a} (t - 5) + 83$ ( $a > 0$ 且 $a \neq 1$ )图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳．

(1)、试求 $p = f (t)$ 的函数关系式；

(2)、老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．

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