2025高考一轮复习（人教A版）第十二讲函数的应用二

试卷更新日期：2024-11-22 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知过点 $(- 2, 0)$ 的直线与函数 $f (x) = x e^{x + 2} + 2$ 的图象有三个交点，则该直线的斜率的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(- 1, 0)$ D、 $(- 1, + \infty)$

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2. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | 3 - 2 x | + 1, x > 0, \\ \frac{(x + 2)^{2}}{e^{x}}, x \leq 0 . \end{array}$ 若函数 $y = [f (x)]^{2} - a f (x)$ 有5个不同的零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1]$ B、 $(1, 4]$ C、 $(1, 4)$ D、 $(1, + \infty)$

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3. 已知 $2^{a} = l o g_{\frac{1}{2}} a$ ， ${(\frac{1}{2})}^{b} = l o g_{\frac{1}{2}} b$ ，则下面正确的是（）

A、 $a > b$ B、 $a < \frac{1}{4}$ C、 $b > \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $| a - b | < \frac{1}{2}$

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4. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x - 3, x \leq 0 \\ - 2 + \ln x, x > 0 \end{array}$ ，令 $h (x) = f (x) - k$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的增区间为 $(0, + \infty)$ B、当 $h (x)$ 有3个零点时， $k \in (- 4, - 3)$ C、当 $k = - 2$ 时， $h (x)$ 的所有零点之和为 $- 1$ D、当 $k \in (- \infty, - 4)$ 时， $h (x)$ 有1个零点

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5. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = e^{x} (x + 2)$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 有两个零点 B、当 $x > 0$ 时， $f (x) = - e^{x} (- x + 2)$ C、 $f (x) > 0$ 的解集是 $(- 2, 0) \cup (2, + \infty)$ D、 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ 都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < 3$

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6. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且满足 $f (x) + f (y) = f (x + y) - 2 x y + 2, f (1) = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (4) = 12$ B、方程 $f (x) = x$ 有解 C、 $f (x + \frac{1}{2})$ 是偶函数 D、 $f (x - \frac{1}{2})$ 是偶函数

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二、多项选择题

7. 已知 $f (x) = x^{2} + x l n x + 2$ ， $g (x) = f (x) - e x$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{4}, 1]$ 上的最大值为3 B、 $\forall x > 0$ ， $f (x) > 2$ C、函数 $g (x)$ 在 $(3, 4)$ 上没有零点 D、函数 $g (x)$ 的极值点有2个

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8. 设函数 $f (x) = |x^{- 1}|$ ，则下列叙述正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 是偶函数 B、函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递减 C、当函数 $f (x)$ 的值域为 $(0, 1]$ 时，其定义域是 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$ D、函数 $y = f (x) - 1$ 有两个零点1和 $- 1$

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9. 已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x} + 2$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[6, + \infty)$ B、直线 $3 x + y + 6 = 0$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条切线 C、 $f (x - 1)$ 图象的对称中心为 $(- 1, 2)$ D、方程 $f^{2} (x) - 5 f (x) - 14 = 0$ 有三个实数根

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三、填空题

10. 已知函数 $f (x) = | ln| x + 2 | | - m$ ， m为正的常数，则 $f (x)$ 的零点之和为．

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11. 设函数 $f (x) = a^{x} + b^{x} - c^{x}$ ，其中 $a, b, c$ 是 $△ A B C$ 的三条边长，且有 $c > a, c > b$ ．给出下列四个结论：
①若 $a = b$ ，则 $f (x)$ 的零点均大于1；
②若 $a = 2, b = 3, c = 4$ ，则对任意 $x \in (0, + \infty), a^{x}, b^{x}, c^{x}$ 都能构成一个三角形的三条边长；
③对任意 $x \in (- \infty, 1], f (x) > 0$ ；
④若 $△ A B C$ 为直角三角形，则对任意 $n \in N^{*}, f (2 n) ⩽ 0$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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12. 已知函数 $f (x)$ 为偶函数，满足 $f (x + 2) = - \frac{1}{f (x)}$ ，且 $- 2 \leq x \leq 0$ 时， $f (x) = {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{x} - 2$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) - 2 l o g_{a} (3 x + 1) = 0$ 有两解，则 $a$ 的值为.

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四、解答题

13. 已知函数 $f (x) = a x - \frac{1}{x} - (a + 1) \ln x$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 恰有一个零点，求a的取值范围．

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14. 已知 $0 < a < 1$ ，函数 $f (x) = \frac{a e^{x - a}}{x} (x \neq 0)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间.

(2)、讨论方程 $f (x) = a$ 的根的个数.

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15. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，满足 $f (x - 2) + f (- x) = 0$ ．

(1)、证明：函数 $f (x)$ 是周期函数．

(2)、当 $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) = 1 - x$ ．若 $g (x) = f (x) - a | x |$ 恰有14个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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16. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (4^{x} + 1) - k x$ （其中 $k \in R$ ）为偶函数.

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、讨论函数 $g (x) = (2 k)^{f (x)} - (m \cdot 2^{x} - m) (m > 0)$ 的零点情况.

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、证明 $x \in (0, + \infty)$ 时， $x - ln x \geq \frac{e^{x - 1}}{x} \cdot f (\frac{e^{x - 2}}{x})$ ；

(3)、若对于任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，关于 $x$ 的不等式 $e^{x - 2} \geq 2 m x^{2} - x - x ln x$ 恒成立，求出 $m$ 的取值范围.

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