广东省珠海市金砖四校2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试卷

试卷更新日期：2024-11-15 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x} - 3, x > 0 \\ x^{2} - 1, x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (f (1)) =$ （）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、0

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2. 已知集合 $A = \{x \in N |- 1 \leq x \leq 2\}$ ， $B = \{x \in R |x^{3} \geq x\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{- 1, 1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$

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3. $0 < a < b$ 是 $a + \frac{1}{b} < b + \frac{1}{a}$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $y = \frac{1 - x}{\sqrt{1 - x}} + \sqrt{1 + x}$ 的定义域为（）

A、 $[- 1, 1]$ B、 $[- 1, 1)$ C、 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1] \cup (1, + \infty]$

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5. 已知 $0 < a < 1$ ， $b < 0$ ，则下列大小关系正确的是（）

A、 $a b < - 1 < a^{2} b$ B、 $- 1 < a b < a^{2} b$ C、 $a b < a^{2} b < 1$ D、 $a^{2} b < a b < 1$

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6. 已知 $a > 1$ ，则 $a + \frac{4}{a - 1}$ 的最小值是（）

A、 $5$ B、 $6$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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7. 命题“ $\exists x_{0} \in R$ ，使 $m x_{0}^{2} - (m + 3) x_{0} + m \leq 0$ ”是假命题，则实数m的取值范围为（）

A、 $m < 0$ B、 $m < - 1$ C、 $m > 3$ D、 $m \geq 3$

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8. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x (1 + x)$ ．则当 $x < 0$ 时， $f (x) =$ （）

A、 $x (3 + x)$ B、 $x (1 - x)$ C、 $x (x - 1)$ D、 $- x (1 + x)$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 若集合 $M = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ，集合 $N = \{- 1, 0, 3\}$ ，则下列各式正确的是（）

A、 $\exists x \in M$ ， $x \notin N$ B、 $\forall x \in N$ ， $x \in M$ C、 $M \cap N = \{- 1, 0\}$ D、 $M \cup N = \{- 1, 0, 1, 2\}$

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10. 设函数 $f (x) = |x^{- 1}|$ ，则下列叙述正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 是偶函数 B、函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递减 C、当函数 $f (x)$ 的值域为 $(0, 1]$ 时，其定义域是 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$ D、函数 $y = f (x) - 1$ 有两个零点1和 $- 1$

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11. 下列命题正确的有（）

A、若 $x \in (0, 1)$ ，则 $x (1 - x) \leq \frac{1}{4}$ B、若 $x < 0$ ，则式子 $x + \frac{4}{x}$ 有最小值 $- 4$ C、若 $f (x) = a x + b x^{2} + c x^{5}$ 是奇函数，则 $b = 0$ D、命题 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0} - x_{0}^{2} > 0$ 的否定是 $\forall x \in R$ ， $x - x^{2} \leq 0$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 不等式 $|2 - x| > 2$ 的解集为．

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13. 已知集合 $A = \{x |a < x < 0\}$ ， $B = \{x |- 2 < x < - 1\}$ ，若 $A \cap B = B$ ，则实数a的取值范围为．

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14. 函数 $f (x) = a x^{2} + b x + 1 (a, b \in R, a \neq 0)$ 关于直线 $x = 1$ 对称，若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $f (x) = 0$ 的两个根，且 $x_{1} x_{2} < 0$ ．则 $|x_{1} - x_{2}|$ 的取值范围为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

15. 设集合 $A = \{x |x > 2\}$ ， $B = \{x |- 1 \leq x < 3\}$ ．用描述法表示下列集合．

(1)、 $A \cap B$ ；

(2)、 $A \cup B$ ；

(3)、 $A \cap ∁_{R} B$ ．

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16. 已知不等式 $5 x^{2} - b x + c < 0$ 的解集为 $\{x |- 1 < x < 3\}$ ．

(1)、求 $b + c$ 的值；

(2)、解不等式 $b x^{2} + 5 x + c > 0$ ．

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17. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ ．

(1)、函数 $y = f (x)$ 有无零点，若有，求出零点；若没有，说明理由；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 在 $x \in (- 2, 3]$ 时的值域，并简单说明理由．

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18. 已知函数 $f (x) = x + \frac{k}{x}$ ， $k \in R$ ．

(1)、画出当 $k = - 1$ 时，函数 $y = f (x)$ 的图象；

(2)、探究函数 $y = f (x)$ 的单调性．

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19. 如图，设矩形 $A B C D (A B > A D)$ 的周长为 $24 \sqrt{2} cm$ ，把 $△ A B C$ 沿 $A C$ 向 $△ A D C$ 折叠， $A B$ 折过去后交 $D C$ 于点P，设 $A B = x cm$ ，求 $△ A D P$ 的最大面积及相应的x的值．

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