上海市民立中学2024-2025学年高一上学期期中学习质量检测数学试题

试卷更新日期：2024-11-15 类型：期中考试

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一、填空题（3*10=30分）

1. 已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}, A = \{2, 3, 6, 7\}$ ，则 $\bar{A} =$ .

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2. 若 $2^{x} = 3$ ，则 $x =$ .

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3. 设 $a, b, c \in R$ ，若关于 $x$ 的等式 $a x^{2} + b x + c = 2 x^{2} - 3 x + 1$ 对于任意实数 $x$ 恒成立，则 $a - b + c =$ .

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4. 若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是一元二次方程 $3 x^{2} - 10 x + 1 = 0$ 的两根， $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 的值为．

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5. 已知 $x, y$ 为正实数，且满足 $4 x + y = 40$ ，则 $x \cdot y$ 的最大值是．

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6. 已知 $x < 0$ ，化简： $3 \sqrt[3]{x^{3}} + 4 \sqrt[4]{x^{4}} =$ .

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7. 若关于x、y的二元一次方程组 $\{\begin{cases} y = 2 x + 3 \\ y = k x + 1 \end{cases}$ 的解集为 $\emptyset$ ，则实数 $k =$ ．

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8. 不等式 $|x + 2| + |x - 2| \leq 4$ 的解集是．

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9. 设集合 $P = \{x | x^{2} + x \leq 0\}$ ， $Q = {x | | 2 x + a | \geq 1}$ ，若 $P \cap Q = P$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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10. 已知不等式 $m x^{2} - n x + 3 > 0$ 的解集为 ${x | x < 1$ 或 $x > 3}$ ，若 $a > 0, b > 0, m a + n b = 3$ ，并且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq k^{2} - 2 k$ 恒成立，则实数 $k$ 的取值范围是．

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二、单选题（3*4=12分）

11. 已知 $a < 0$ ，则关于x的不等式 $x^{2} - 4 a x - 5 a^{2} < 0$ 的解集是（　　）

A、 ${x | x > 5 a$ 或 $x < - a}$ B、 ${x | x < 5 a$ 或 $x > - a}$ C、 $\{x | - a < x < 5 a\}$ D、 $\{x| 5 a < x < - a\}$

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12. 利用反证法证明“若 $a + b < 0$ ，则 $a, b$ 至少有一个小于0”时，假设应为（）

A、 $a, b$ 都小于0 B、 $a, b$ 都不小于0 C、 $a, b$ 至少有一个不小于0 D、 $a, b$ 至多有一个小于0

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13. “ $\frac{2}{x} < 1$ ”是“ $x > 2$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分又不必要条件

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14. 由于燃油的价格有升也有降，现在有两种加油方案．第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．下列说法正确的是（　　）

A、采用第一种方案划算 B、采用第二种方案划算 C、两种方案一样 D、采用哪种方案无法确定

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三、解答题（10+10+12+12+14=58分）

15. 用适当的方法表示下列集合
（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A
（2）被3除余2的自然数全体组成的集合B
（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C

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16. （1）已知集合 $A = {x | - 1 < x < 3}$ ， $B = {x | x \geq 1}$ ，求 $A \cup B, A \cap B$ ；
（2）已知 $a + a^{- 1} = 3$ ，求下列各式的值：
① $a^{2} + a^{- 2}$
② $a^{3} + a^{- 3}$

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17. 厦门市杏南中学一年一度的校运动会将在十月份举行.学校各单门已经开始各项准备工作，其中宣传报道组制作了各式各样的宣传海报供各个单位使用.如图，一份矩形宣传海报的排版面积（矩形 $A B C D$ ）为 $P$ ，根据设计要求，它的两边都留有宽为 $a$ 的空白，顶部和底部都留有宽为 $2 a$ 的空白.

(1)、若 $A B = 20 cm$ ， $B C = 30 cm$ ，且该海报的面积不超过 $1000 c m^{2}$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a = 2 cm$ ， $P = 800 c m^{2}$ ，则当 $A B$ 长多少时，才能使纸的用量最少？

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18. （1）解关于 $x$ 的不等式 $m (x - 3) < 3 (x + 1)$
（2）已知不等式 $(m - 2) x^{2} - 2 (m - 2) x - 4 \leq 0$ 对一切 $x \in R$ 都成立.求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 若至少由两个元素构成的有限集合 $A \subseteq N^{*}$ ，且对于任意的 $x, y \in A (x > y)$ ，都有 $\frac{y^{2}}{x - y} \in A$ ，则称 $A$ 为“ $L -$ 集合”．

(1)、判断 ${1, 2, 4}$ 是否为“ $L -$ 集合”，说明理由；

(2)、若双元素集 $M$ 为“ $L -$ 集合”，且 $4 \in M$ ，求所有满足条件的集合 $M$ ；

(3)、求所有满足条件的“ $L -$ 集合”．

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