广东省广州市禺山高级中学2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试卷

试卷更新日期：2024-11-16 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每题只有一项是符合题目要求的．

1. 若集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 9\}$ ， $B = \{x |x + 1 \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 3, 4\}$ B、 $\{2, 3, 4\}$ C、 $\{1, 2, 3, 4\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3, 4, 9\}$

查看试题解析
2. 设 $z = \sqrt{2} i$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、2

查看试题解析
3. 已知向量 $\vec{a} = (4, - 2, 3)$ ， $\vec{b} = (1, 5, x)$ ，满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、2 B、-2 C、 $\frac{14}{3}$ D、 $- \frac{14}{3}$

查看试题解析
4. 已知曲线 $C : x^{2} + y^{2} = 16 (y > 0)$ ，从 $C$ 上任意一点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线段 $P P^{^{'}}, P^{^{'}}$ 为垂足，则线段 $P P^{^{'}}$ 的中点 $M$ 的轨迹方程为（）.

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (y > 0)$ B、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{8} = 1 (y > 0)$ C、 $\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{4} = 1 (y > 0)$ D、 $\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{8} = 1 (y > 0)$

查看试题解析
5. 设函数 $f (x) = \sin ω x (ω > 0)$ .已知 $f (x_{1}) = - 1$ ， $f (x_{2}) = 1$ ，且 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ ，则 $ω =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
6. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 0)$ ，则“ $a = \sqrt{2}$ ”是“椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
7. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{||x| - 1|}$ B、 $f (x) = \frac{1}{|x - 1|}$ C、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

查看试题解析
8. 若 $A (2, 2, 1)$ ， $B (0, 0, 1)$ ， $C (2, 0, 0)$ ，则点A到直线 $B C$ 的距离为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{30}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

查看试题解析

二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．

9. 已知直线 $l$ 的倾斜角等于 $120^{\circ}$ ，且 $l$ 经过点 $(- \sqrt{3}, 1)$ ，则下列结论中正确的有（）

A、 $l$ 的一个方向向量为 $\overset{⃑}{u} = (- \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{1}{2})$ B、直线 $l$ 与两坐标轴围成三角形的面积为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $l$ 与直线 $\sqrt{3} x - 3 y + 2 = 0$ 垂直 D、 $l$ 与直线 $\sqrt{3} x + y + 2 = 0$ 平行

查看试题解析
10. 圆 $Q_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 和圆 $Q_{2} : x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ 的交点为 $A$ ， $B$ ，则（）

A、公共弦 $A B$ 所在直线的方程为 $x - y = 0$ B、线段 $A B$ 中垂线方程为 $x + y - 1 = 0$ C、公共弦 $A B$ 的长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $P$ 为圆 $Q_{1}$ 上一动点，则 $P$ 到直线 $A B$ 距离的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

查看试题解析
11. 如图所示四面体 $O A B C$ 中， $O B = O C = 4$ ， $O A = 3$ ， $O B ⊥ O C$ ，且 $∠ A O B = ∠ A O C = 60 °$ ， $\vec{C D} = \frac{2}{3} \vec{C B}$ ， $G$ 为 $A D$ 的中点，点 $H$ 是线段 $O A$ 上动点，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$ ； B、当 $H$ 是靠近 $A$ 的三等分点时， $\vec{D H}$ ， $\vec{O C}$ ， $\vec{A B}$ 共面； C、当 $\vec{O H} = \frac{5}{6} \vec{O A}$ 时， $\vec{G H} ⊥ \vec{O A}$ ； D、 $\vec{D H} \cdot \vec{O H}$ 的最小值为 $- 1$ ．

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知直线 $l ： y = x + 1$ 与圆 $C ：（ x - 1 ）^{2} + y^{2} = r^{2} （ r > 0 ）$ 相切，则 $r =$ .

查看试题解析
13. 已知函数 $f (x)$ 是偶函数，它在 $[0 ， + \infty)$ 上是减函数，若满足 $f (\lg x) < f (1)$ ，则 $x$ 的取值范围是.

查看试题解析
14. 印章是我国传统文化之一，根据遗物和历史记载，至少在春秋战国时期就已出现，其形状多为长方体､圆柱体等，陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印章（如图1），该形状称为“半正多面体”（由两种或两种以上的正多边形所围成的多面体），每个正方形面上均刻有不同的印章（图中为多面体的面上的部分印章）.图2是一个由18个正方形和8个正三角形围成的“半正多面体”（其各顶点均在一个正方体的面上），若该多面体的棱长均为1，且各个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为.

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $s i n A + \sqrt{3} c o s A = 2$ ．

(1)、求 $A$ ．

(2)、若 $a = 2, \sqrt{2} b s i n C = c s i n 2 B$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

查看试题解析
16. 圆M经过三点：A（2， $- 2$ ），B（0，4），C（ $- 2$ ， 0）.

(1)、求圆M的方程；

(2)、过点P（2，3）的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程.

查看试题解析
17. 如图，已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是直角三角形， $∠ A C B = 90 ° ， A A_{1} = A B = 2 B C = 2 ， \overset{⇀}{D C_{1}} = 3 \overset{⇀}{C D}$ ．
$（$ Ⅰ $）$ 求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ；
$（$ Ⅱ $）$ 求二面角 $A - B D - A_{1}$ 的余弦值；
$（$ Ⅲ $）$ 求点 $B_{1}$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离．

查看试题解析
18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右顶点距离为 $2 \sqrt{6}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设过点 $(0, 1)$ ，斜率存在且不为0的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求弦 $A B$ 垂直平分线的纵截距的取值范围.

查看试题解析
19. 定义三阶行列式运算： $|\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}| = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32}$ ，其中 $a_{i j} \in R (i, j \in \{1, 2, 3\})$ .已知 $a > - 1$ ，关于 $x$ 的不等式 $|\begin{matrix} x - a & 1 & 0 \\ a & x - 1 & 0 \\ - a & 1 & x \end{matrix}| > 0$ 的解集为 $M$ .

(1)、求 $M$ ；

(2)、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - (4 a + 1) x, x \in M, \\ e^{x} - 2 a - 2, x \in ∁_{R} M \end{array}$ 不存在最小值，求 $a$ 的取值范围.

查看试题解析