广东省广州市华侨中学等三校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-11-15 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {x ∣ - 3 \leq x \leq 1}, B = {x | | x ∣ \leq 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ 0 \leq x \leq 1}$ B、 ${x ∣ - 2 \leq x \leq 1}$ C、 ${x ∣ - 3 \leq x \leq 2}$ D、 ${x ∣ 1 \leq x \leq 2}$

查看试题解析
2. 下列结论正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c > b c$ B、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ D、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$

查看试题解析
3. 设函数 $f (x) = \{\begin{matrix} \sqrt{x}, 0 < x < 1 \\ 2 (x - 1), x \geq 1 \end{matrix}$ ，则 $f (f (\frac{5}{4})) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $- 1$

查看试题解析
4. 下列函数最小值为4的是（）

A、 $y = x + \frac{4}{x}$ B、 $y = x^{2} + \frac{4}{x^{2}}$ C、 $y = | x + 4 |$ D、 $y = (x + 4)^{2}$

查看试题解析
5. 函数 $f (x) = \frac{2 | x |}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
6. 若关于 $x$ 的不等式 $(m + 2) x^{2} - (m + 2) x + 2 > 0$ 的解集为 $R$ ，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2, 6)$ B、 $(6, + \infty)$ C、 $(- 2, 6]$ D、 $[- 2, 6]$

查看试题解析
7. 已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + 2 b = 2$ ，若 $3 t^{2} - t \leq \frac{b}{a} + \frac{2}{b}$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{2}{3}, 1]$ B、 $[- 1, \frac{2}{3}]$ C、 $[- \frac{4}{3}, 1]$ D、 $[- 1, \frac{4}{3}]$

查看试题解析
8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过的最大整数，则称 $y = [x]$ 为高斯函数．例如， $[- 2, 6] = - 3, [1, 2] = 1$ ，已知函数 $f (x) = \frac{2 x + 7}{4 x + 2} (x \geq 0)$ ，则函数 $y = [f (x)]$ 的值域为（）

A、 $\{y |0 \leq y \leq 3\}$ B、 $\{y |\frac{1}{2} < y \leq \frac{7}{2}\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

查看试题解析

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列命题正确的是（）

A、已知集合 $M = {0, 1}$ ，则满足条件 $M \cup N = M$ 的集合 $N$ 的个数为3 B、已知集合 $A = \{0, 2 a + 1, a^{2} + 3 a + 1\}$ ，若 $- 1 \in A$ ，则实数 $a = - 2$ C、命题“ $\exists x \in R, 1 < f (x) \leq 2$ ”的否定是“ $\forall x \in R, f (x) \leq 1$ 或 $f (x) > 2$ ” D、设 $a, b \in R$ ，则“ $a \neq 0$ ”是“ $a b \neq 0$ ”的必要不充分条件

查看试题解析
10. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 \sqrt{x} + b + 1$ .则下列说法正确的是（）

A、 $b = - 1$ B、当 $x < 0$ 时， $f (x) = - x^{2} - 2 \sqrt{- x}$ C、若 $f (x)$ 在 $[m, n] (0 < m < n)$ 上单调递减，则 $f (x)$ 在 $[- n, - m]$ 上有最大值 $- n^{2} + 2 \sqrt{n}$ D、若 $g (x) = f (x) + 2, g (- m) = - 5$ ，则 $g (m) = 7$

查看试题解析
11. 已知集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}$ 是由 $n (n > 3)$ 个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素 $a_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”．（）

A、 $\{1, 2, 3, 4\}$ 不是“可分集合” B、 $\{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13\}$ 是“可分集合” C、四个元素的集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\}$ 可能是“可分集合” D、五个元素的集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\}$ 不是“可分集合”

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 函数 $y = \frac{\sqrt{x + 1}}{x}$ 的定义域为.

查看试题解析
13. 已知函数 $y = (a^{2} - a + 1) x^{a + 2}$ 为幂函数，且其图象关于原点对称，则实数 $a =$ ．

查看试题解析
14. 设 $f (x)$ 是定义域为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ ，满足 $f (x) + f (- x) = 0$ ，若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (- \infty, 0)$ ，都有不等式 $\frac{x_{1} f (x_{2}) - x_{2} f (x_{1})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，且 $f (- 2) = 0$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 解集是．

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ x^{2} - 4 x + 3 \leq 0}, B = {x ∣ 2 < x < 4}$ ， $C = \{x ∣ 2 a \leq x \leq a + 2\}$ 且 $C$ 为非空集合.

(1)、分别求 $A \cap B, A \cup (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $x \in C$ 是 $x \in B$ 的充分不必要条件，求 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = x - \frac{4}{x}$ ，

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并加以证明；

(2)、根据函数单调性的定义证明： $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增；

(3)、解不等式： $f (x - 5) < 3$ .

查看试题解析
17. 师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本 $30 x$ （单位：元）满足如下关系： $W (x) = \{\begin{matrix} 3 x^{2} + \frac{34}{3}, 0 \leq x \leq 2, \\ \frac{32 x}{x + 1} + x, 2 < x \leq 5. \end{matrix}$ ，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为 $f (x)$ （单位：元）.

(1)、求 $f (x)$ 的函数关系式；

(2)、当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?

查看试题解析
18. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 5$ ，

(1)、若 $f (x) < 0$ 的解集为 $(1, b)$ ，求 $a + b$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 的定义域和值域均为 $[1, a] (a > 1)$ ，求实数 $a$ 的值；

(3)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, 2]$ 上单调递减，且对任意的 $x_{1}, x_{2} \in [1, a + 1]$ ，总有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq 3$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

查看试题解析
19. 已知函数 $f (x)$ ，对于任意的 $x, y \in R$ ，都有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ ，且 $f (1) = - \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $f (0), f (3)$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 6, 8]$ 上的值域；

(3)、设函数 $g (x) = f (x^{2} - m) - 2 f (| x |)$ ，若方程 $g (x) = 0$ 有4个不同的解，求 $m$ 的取值范围.

查看试题解析