广东省湛江市雷州市第二中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-11-20 类型：期中考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．

1. 经过点 $(3, 1)$ ，斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线方程为（）

A、 $x - 2 y - 1 = 0$ B、 $x + 2 y - 5 = 0$ C、 $2 x - y - 5 = 0$ D、 $2 x + y - 7 = 0$

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2. 如图，在四面体 $O A B C$ 中，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点M是棱 $O A$ 上，且 $O M = 2 M A$ ， N为 $B C$ 的中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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3. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y - 4 = 0$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 3 x - 3 y - 1 = 0$ ，则这两圆的公共弦长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、1

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4. 过点 $M (2 ， - 1)$ 且与圆： $x^{2} + y^{2} = 5$ 相切的直线方程为（）

A、 $x - 2 y - 4 = 0$ B、 $x + 2 y + 5 = 0$ C、 $2 x - y - 5 = 0$ D、 $2 x + y + 5 = 0$

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5. 已知直线 $l_{1} : y = 2 x - 1$ 过点 $A (- 2, b)$ ，若直线 $l_{2}$ 过点 $B (6, 3)$ 及点 $A$ 关于坐标原点的对称点，则直线 $l_{2}$ 的方程为（）

A、 $x + 2 y - 12 = 0$ B、 $x + 2 y + 12 = 0$ C、 $x - 2 y = 0$ D、 $2 x - y = 0$

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6. 已知 $\vec{v}$ 为直线 $l$ 的方向向量， ${\vec{n}}_{1}, {\vec{n}}_{2}$ 分别为平面 $α, β$ 的法向量（ $α, β$ 不重合），有下列说法：① ${\vec{n}}_{1} ∥ {\vec{n}}_{2} \Leftrightarrow α ∥ β$ ；② ${\vec{n}}_{1} ⊥ {\vec{n}}_{2} \Leftrightarrow α ⊥ β$ ；③ $\vec{v} ∥ {\vec{n}}_{1} \Leftrightarrow l ∥ α$ ；④ $\vec{v} ⊥ {\vec{n}}_{1} \Leftrightarrow l ∥ α$ ．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为线段 $A_{1} D$ 的中点，N为线段 $C D_{1}$ 上的动点，则直线 $C D_{1}$ 与直线 $M N$ 所成角的正弦值的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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8. 已知 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ 是圆 $C : {(x + 3)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 4$ 上的两个不同的点，若 $|M N| = 2 \sqrt{2}$ ，则 $|x_{1} - y_{1}| + |x_{2} - y_{2}|$ 的取值范围为（）

A、 $[12, 20]$ B、 $[10, 14]$ C、 $[8, 16]$ D、 $[4 \sqrt{2}, 8 \sqrt{2}]$

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二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分．

9. 已知空间向量 $\vec{a} = (2, 2, 2)$ ， $\vec{b} = (1, - 1, 1)$ ， $\vec{c} = (1, 3, 1)$ ，则（）

A、 $|\vec{a}| = 2 \sqrt{3}$ B、 $\vec{a} - \vec{b} = (1, 3, 1)$ C、 $\vec{a} / / \vec{b}$ D、 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是共面向量

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10. 已知方程 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + a = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、方程表示圆，且圆的半径为1时， $a = 4$ B、当 $a = 5$ 时，方程表示圆心为 $(1, - 2)$ 的圆 C、当 $a = 0$ 时，方程表示圆且圆的半径为 $\sqrt{5}$ D、当 $a < 5$ 时，方程表示圆心为 $(1, - 2)$ 的圆

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11. 下列结论正确的是（）

A、若 $\overset{⃑}{v}$ 直线l方向向量， $l ⊥$ 平面 $α$ ，则 $λ v (λ \in R)$ 是平面 $α$ 的一个法向量 B、坐标平面内过点 $P (x_{0}, y_{0})$ 的直线可以写成 $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) = 0 (A^{2} + B^{2} \neq 0)$ C、直线l过点 $(- 2, 3)$ ，且原点到l的距离是2，则l的方程是 $5 x + 12 y - 26 = 0$ D、设二次函数 $y = (x - 2020) (x + 2021)$ 的图象与坐标轴有三个交点，则过这三个点的圆与坐标轴的另一个交点的坐标为 $(0, 1)$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．

12. 设直线l的方向向量为 $\vec{m} = (2, - 1, z)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (4, - 2, - 2)$ ，若直线 $l ⊥$ 平面 $α$ ，则实数z的值为．

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13. 两条平行直线 $l_{1} : 3 x + 4 y - 5 = 0$ 与 $l_{2} : 6 x + 8 y - 5 = 0$ 之间的距离是．

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14. 如图所示，在四面体 $A B C D$ 中， $△ B C D$ 为等边三角形， $∠ A D B = \frac{π}{2}$ ，则平面 $A B D$ 与平面 $A C D$ 夹角的最大值是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D$ ⊥平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A = P D$ ， $A B = 2$ ， $A D = 8$ ， $A C = C D = 5$ .

(1)、求证：平面 $P C D$ ⊥平面 $P A B$ ；

(2)、求点 $B$ 到平面 $P C D$ 的距离.

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16. 已知圆 $C$ 的圆心在直线 $x - y - 1 = 0$ 上，且过 $A (- 2, 2)$ ， $B (3, 3)$ 两点.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若过点 $Q (3, 4)$ 的直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为 $6$ ，求直线 $l$ 的方程.

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17. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形、 $S A ⊥$ 平面 $A B C D ， M ， N$ 分别为棱 $S B ， S C$ 的中点

(1)、证明： $M N / /$ 平面 $S A D$ ；

(2)、若 $S A = A D$ ，求直线 $S D$ 与平面 $A D N M$ 所成角的正弦值

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18. 如图四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形，平面 $P C D ⊥$ 平面 $P A D$ ， $P A = A D$ ， $P A ⊥ B C$ .

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求二面角 $B - P C - D$ 的余弦值.

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19. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 16$ 分别与 $x$ 、 $y$ 轴正半轴交于 $A$ 、 $B$ 两点， $P$ 为圆 $C$ 上的动点．

(1)、若线段 $A P$ 上有一点 $Q$ ，满足 $\vec{A Q} = 2 \vec{Q P}$ ，求点 $Q$ 的轨迹方程；

(2)、过点 $(3, 4)$ 的直线 $m$ 截圆 $C$ 所得弦长为 $2 \sqrt{7}$ ，求直线 $m$ 的方程；

(3)、若 $P$ 为圆 $C$ 上异于 $A, B$ 的动点，直线 $A P$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，直线 $B P$ 与 $x$ 轴交于点 $N$ ，求证： $|A N| \cdot |B M|$ 为定值．

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