广东省珠海市六校联考2024-2025学年高二上学期11月期中学业质量检测数学试题

试卷更新日期：2024-11-13 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1. 在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为 $29, 30, 38, 25, 37, 40, 42, 32$ ，那么这组数据的第75百分位数为（）

A、38 B、39 C、40 D、41

查看试题解析
2. 直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 的方向向量是（）

A、 $(2, 1)$ B、 $(- 2, 1)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(1, - 2)$

查看试题解析
3. 装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（）

A、① B、①② C、②③ D、①②③

查看试题解析
4. 若直线 $l_{1}$ ： $2 x + (m + 1) y + 4 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $m x + 3 y - 2 = 0$ 平行，则 $m$ 的值为（）

A、2 B、 $- 3$ C、2或 $- 3$ D、 $- 2$ 或 $- 3$

查看试题解析
5. 设 $x, y \in R$ ， $\vec{a} = (1, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (1, y, z)$ ， $\vec{c} = (x, - 4, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $|2 \vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、3 D、 $3 \sqrt{2}$

查看试题解析
6. 如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为BC的中点， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{D_{1} E} =$ （）

A、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ C、 $\vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$

查看试题解析
7. 在如图所示的电路中，三个开关 $A$ ， $B$ ， $C$ 闭合与否相互独立，且在某一时刻 $A$ ， $B$ ， $C$ 闭合的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，则此时灯亮的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{8}$

查看试题解析
8. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点 $A (- 3, 4)$ 的直线 $l$ 的一个法向量为 $(1, - 3)$ ，则直线 $l$ 的点法式方程为： $1 \times (x + 3) + (- 3) \times (y - 4) = 0$ ，化简得 $x - 3 y + 15 = 0$ .类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点 $M (1, 2, 3)$ 的平面的一个法向量为 $\bar{m} = (1, 2, - 4)$ ，则该平面的方程为（）

A、 $x - 2 y - 4 z + 7 = 0$ B、 $x + 2 y - 4 z + 7 = 0$ C、 $x + 2 y + 4 z + 7 = 0$ D、 $x + 2 y - 4 z - 7 = 0$

查看试题解析

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知直线 $l$ ： $y = k x + k + 1$ ，下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ 过定点 $(- 1, 1)$ B、当 $k = 1$ 时， $l$ 关于 $x$ 轴的对称直线为 $x + y + 2 = 0$ C、点 $P (3, - 1)$ 到直线 $l$ 的最大距离为 $2 \sqrt{5}$ D、直线 $l$ 一定经过第四象限

查看试题解析
10. 已知事件 $A, B$ 发生的概率分别为 $P (A) = \frac{1}{2}, P (B) = \frac{1}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P (A + B) = \frac{2}{3}$ B、若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (A + B) = \frac{2}{3}$ C、若 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{3}$ ，则 $A$ 与 $B$ 相互独立 D、若 $B$ 发生时 $A$ 一定发生，则 $P (A B) = \frac{1}{6}$

查看试题解析
11. 关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、若对空间中任意一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{1}{6} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点共面 C、设 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间中的一组基底，则 $\{\vec{a} - \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{a} + \vec{c}\}$ 也是空间的一组基底 D、若空间四个点 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $\vec{P C} = \frac{1}{4} \vec{P A} + \frac{3}{4} \vec{P B}$ ，则 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ 的平均数5，则数据 $3 x {}_{1}+ 2, 3 x_{2} + 2, 3 x_{3}^{} + 2, \cdot \cdot \cdot, 3 x_{n} + 2$ 的平均数为.

查看试题解析
13. 直线l的方向向量为 $\vec{n} = (1, 1, - 1)$ ，且l过点 $A (- 1, 1, 1)$ ，则点 $P (0, 1, - 1)$ 到直线l的距离为.

查看试题解析
14. 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为.

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $B C$ 边上的高 $A D$ 所在直线的方程为 $x - 2 y + 2 = 0$ ， $∠ A$ 的平分线所在直线的方程为 $y = 0$ ，点 $B$ 的坐标为 $(1, 3)$ .

(1)、求直线 $B C$ 的一般式方程；

(2)、求直线 $A C$ 的一般式方程及点 $C$ 的坐标.

查看试题解析
16. 第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市 $A$ 社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表 $A$ 社区参加市亚运知识竞赛．已知 $A$ 社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，通过初赛后再通过决赛的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，假设他们之间通过与否互不影响．

(1)、求这3人中至多有2人通过初赛的概率；

(2)、求这3人都参加市知识竞赛的概率；

(3)、某品牌商赞助了 $A$ 社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率．

查看试题解析
17. 某省实行“ $3 + 1 + 2$ ”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定 $A, B, C, D, E$ 共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．其中， $A$ 等级排名占比 $15 %$ ，赋分分数区间是 $86 \sim 100$ ； $B$ 等级排名占比 $35 %$ ，赋分分数区间是 $71 \sim 85$ ； $C$ 等级排名占比 $35 %$ ，赋分分数区间是 $56 \sim 70$ ； $D$ 等级排名占比 $13 %$ ，赋分分数区间是 $41 \sim 55$ ； $E$ 等级排名占比 $2 %$ ，赋分分数区间是 $30 \sim 40$ ；现从全年级的生物成绩中随机抽取 $100$ 名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如下图：

(1)、求图中 $a$ 的值；

(2)、从生物原始成绩为 $[60, 80)$ 的学生中用分层抽样的方法抽取 $6$ 人，从这 $6$ 人中任意抽取 $2$ 人，求 $2$ 人均在 $[70, 80)$ 的概率；

(3)、用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的 $B$ 等级及以上（含 $B$ 等级）？（结果保留整数）

查看试题解析
18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D$ ， $P A = P D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $A C = C D = \sqrt{5}$ .
（1）求证：平面 $P A B$ ；
（2）求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面 $P C D$ ？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

查看试题解析
19. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 $A B C D$ 、 $A B E F$ 的边长都是 $1$ ，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子 $M$ 、 $N$ 分别在正方形对角线 $A C$ 和 $B F$ 上移动，且 $C M$ 和 $B N$ 的长度保持相等，记 $C M = B N = a (0 < a < \sqrt{2})$ .

(1)、证明： $M N //$ 平面 $C B E$ ；

(2)、当 $a$ 为何值时， $M N$ 的长最小并求出最小值；

(3)、当 $M N$ 的长最小时，求平面 $M N A$ 与平面 $M N B$ 夹角的余弦值.

查看试题解析