广东省深圳市龙岗区布吉高级中学2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷

试卷更新日期：2024-11-15 类型：期中考试

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一、单选题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1. 在空间四边形 $A B C D$ 中，下列表达式化简结果与 $\vec{A B}$ 相等的是（）

A、 $\vec{A C} + \vec{C D}$ B、 $\vec{A C} + \vec{B C}$ C、 $\vec{D C} + \vec{C B} - \vec{D A}$ D、 $\vec{A C} + \vec{B D} - \vec{B C}$

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2. 直线 $\sqrt{3} x - y + 2 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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3. 已知点 $M (2, 0), N (6, 4)$ ，则以 $M N$ 为直径的圆的方程为（）

A、 ${(x + 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ B、 ${(x - 4)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 8$ C、 ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ D、 ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 8$

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4. 圆 $C_{1} : {(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 10 x + 9 = 0$ 的公切条数为（）

A、2条 B、1条 C、3条 D、4条

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5. 如图，已知 $F$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点， $P$ 是椭圆上的一点， $P F ⊥ x$ 轴， $O P // A B$ （O为原点），则该椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 1 = 0$ 的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（　　）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4$

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7. 如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且 $G N = 2 M G$ ，现用向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 表示向量 $\vec{O G}$ ，设 $\vec{O G} =$ $x \vec{O A} + y$ $\vec{O B} + z$ $\vec{O C}$ ，则x，y，z的值分别为（）

A、 $x = \frac{1}{3}, y = \frac{1}{3}, z = \frac{1}{3}$ B、 $x = \frac{1}{3}, y = \frac{1}{3}, z = \frac{1}{6}$ C、 $x = \frac{1}{3}, y = \frac{1}{6}, z = \frac{1}{6}$ D、 $x = \frac{1}{6}, y = \frac{1}{3}, z = \frac{1}{3}$

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8. 已知点 $A (2, 3), B (- 3, 2)$ ，若直线 $a x + y + 1 = 0$ 与线段 $A B$ 相交，则a的取值范围是（）

A、 $[- 1, 2]$ B、 $(- \infty, - 1) \cup [2, + \infty)$ C、 $[- 2, 1)$ D、 $(- \infty, - 2] \cup [1, + \infty)$

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二、多选题（共3小题，每小题6分，满分18分，部分对得部分分）

9. 已知直线 $l_{1} : a x + y - 3 a = 0$ ，直线 $l_{2} : 2 x + (a - 1) y - 6 = 0$ ，则（）

A、当 $a = 3$ 时， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为 $(3, 0)$ B、直线 $l_{1}$ 恒过点 $(3, 0)$ C、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = \frac{1}{3}$ D、存在 $a \in R$ ，使 $l_{1} ∥ l_{2}$

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10. 下面四个结论正确的是（）

A、已知向量 $\vec{a} = (1, 1, x)$ ， $\vec{b} = (- 3, x, 9)$ ，若 $x < \frac{3}{10}$ ，则 $〈 \vec{a}, \vec{b} 〉$ 为钝角 B、已知 $\vec{a} = (2, 0, - 1)$ ， $\vec{b} = (3, - 2, 5)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是 $\frac{1}{5} (2, 0, - 1)$ C、若直线 $a x + b y + c = 0$ 经过第三象限，则 $a b > 0$ ， $b c < 0$ D、已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点不共线，对于空间任意一点 $O$ ，若 $\vec{O P} = \frac{2}{5} \vec{O A} + \frac{1}{5} \vec{O B} + \frac{2}{5} \vec{O C}$ ，则 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点共面

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11. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °, A B = A C = A A_{1} = 2, E$ 、 $F$ 分别是 $B C 、 A_{1} C_{1}$ 的中点，D在线段 $B_{1} C_{1}$ 上，则下面说法中正确的有（）

A、 $E F / /$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ B、直线 $E F$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、若 $D$ 是 $B_{1} C_{1}$ 的中点，若M是 $B_{1} A_{1}$ 的中点，则 $F$ 到平面 $B D M$ 的距离是 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、直线 $B D$ 与直线 $E F$ 所成角最小时，线段 $B D$ 长为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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三、填空题（共3小题，每题5分，满分15分）

12. 已知 $\overset{⃑}{O A} ⊥ \overset{⃑}{A B}$ ，且 $\overset{⃑}{O A} = (1, 1, \sqrt{2})$ ，其中 $O$ 为坐标原点，则 $\overset{⃑}{O A} \cdot \overset{⃑}{O B} =$ ．

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13. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E$ 为 $C C_{1}$ 中点， $A B = \frac{1}{2} A A_{1} = 1$ ，则直线 $B E$ 与 $A C$ 夹角的余弦值为．

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14. 如图，设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点P是以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长 $P F_{2}$ 与椭圆交于点 $Q$ ，若 $\vec{P F_{2}} = 2 \vec{F_{2} Q}$ ，则直线 $P F_{1}$ 的斜率为.

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四、解答题（共5小题，满分77分）

15. 已知点 $A (0, 1, - 1), B (2, 2, 1), O$ 为坐标原点，向量 $\vec{a} = \vec{O A}, \vec{b} = \vec{O B}$ ，计算：

(1)、求向量 $\vec{b}$ 同向的单位向量 $\vec{b_{0}}$ ；

(2)、若 $(k \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (3 \vec{a} - \vec{b})$ ，求 $k$ 的值；

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16. 如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是矩形， $P B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = B C = 3$ ， $B P = 3$ ， $C F = \frac{1}{3} C P$ ， $D E = \frac{1}{3} D A$ ．

(1)、证明： $E F ∥$ 平面 $A B P$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $A D F$ 所成角的正弦值．

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17. 已知 $A (1, 2)$ 、 $B (3, 6)$ ，动点 $P$ 满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = - 4$ ，设动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、求过点 $A (1, 2)$ 且与曲线 $C$ 相切的直线的方程.

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 长轴长为4，且椭圆 $C$ 的离心率 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，其左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设斜率为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 且过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，求 $△ F_{1} P Q$ 的面积．

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19. 过点 $A (x_{0}, y_{0})$ 作斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，若 $k_{1} k_{2} = μ (μ \neq 0)$ ，则称直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是 $K_{A} (μ)$ 定积直线或 $K_{(x_{0}, y_{0})} (μ)$ 定积直线．

(1)、已知直线 $a$ ： $y = k x (k \neq 0)$ ，直线 $b$ ： $y = - \frac{1}{3 k} x$ ，试问是否存在点 $A$ ，使得直线 $a$ ， $b$ 是 $K_{A} (μ)$ 定积直线？请说明理由．

(2)、在 $△ O P M$ 中， $O$ 为坐标原点，点 $P$ 与点 $M$ 均在第一象限，且点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在二次函数 $y = x^{2} - 3$ 的图象上．若直线 $O P$ 与直线 $O M$ 是 $K_{(0, 0)} (1)$ 定积直线，直线 $O P$ 与直线 $P M$ 是 $K_{P} (- 2)$ 定积直线，直线 $O M$ 与直线 $P M$ 是 $K_{(x_{0}, y_{0})} (- \frac{2}{x_{0}^{2}})$ 定积直线，求点 $P$ 的坐标．

(3)、已知直线 $m$ 与 $n$ 是 $K_{(- 2, 4)} (- 4)$ 定积直线，设点 $O (0,0)$ 到直线 $m$ ， $n$ 的距离分别为 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ，求 $d_{1} d_{2}$ 的取值范围．

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