吉林省长春市2024-2025学年高三上学期质量监测(一)数学试卷

试卷更新日期：2024-11-12 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数是（）

A、1 B、2 C、3 D、6

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2. 已知向量 $\vec{a} = (3, m), \vec{b} = (m - 5, 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、2 B、3 C、6 D、15

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3. 已知 $\sin (α + β) = \frac{1}{5}, \sin (α - β) = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{\tan α}{\tan β}$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 3$ D、3

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4. 某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数 $y = a \log_{3} x + b$ 来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要（）秒.

A、15 B、16 C、18 D、20

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5. 正四面体 $A B C D$ 中， $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A D}, \vec{B Q} = \frac{2}{3} \vec{B C}$ ，则异面直线 $P Q$ 与 $B D$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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6. 直线 $x + 2 y - 4 = 0$ 与直线 $3 x + y - 9 = 0$ 所成角是（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $75 °$

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7. 为了解小学生每天的户外运动时间，某校对小学生进行平均每天户外运动时间（单位：小时）的调查，采用样本量按比例分配的分层随机抽样.如果不知道样本数据，只知道抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为2.5和1.65，抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为1.5和3.5，则估计该校学生平均每天户外运动时间的总体方差为（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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8. 已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x), f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，满足 $x f^{'} (x) - 2 f (x) < 0$ ，且 $f (2) = 4$ ，则不等式 $f (2^{x}) - 4^{x} > 0$ 的解集是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 1)$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $x = - \frac{π}{12}$ 是 $f (x)$ 的一条对称轴 B、 $f (x)$ 与函数 $y = \cos (ω x + \frac{π}{6})$ 相等 C、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{4})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上的取值范围是 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$

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10. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，且 $a_{5} = 1$ ，设该等比数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，下列选项正确的是（）

A、 $a_{3} + a_{7} \geq 2$ B、当 $q > 1$ 时， $\{a_{n}\}$ 为递增数列 C、 $S_{n}$ 单调递增的充要条件为 $q > 0$ D、当 $q > 1$ 时，满足 $T_{n} > 1$ 的 $n$ 的最小值为9

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11. 2022年卡塔尔世界杯赛徽近似“伯努利双纽线”.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布 $\cdot$ 伯努利用来描述他所发现的曲线.定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ 距离之积等于定值 $c^{2} (c > 0)$ 的点的轨迹称为双纽线，已知点 $P (x_{0}, y_{0})$ 是双纽线 $C$ 上一点，下列关于双纽线的说法正确的是（）

A、 $|P O|$ 的最大值为 $\sqrt{3} c$ B、双纽线是中心对称图形 C、 $- \frac{c}{2} \leq y_{0} \leq \frac{c}{2}$ D、 $P$ 到 $F_{1}, F_{2}$ 距离之和的最小值为2c

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{9} = 3 (a_{2} + a_{4} + a_{m})$ ，则 $m =$ .

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13. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上、下顶点分别为A、B，右焦点为F，B关于点 $F$ 的对称点为 $B^{'}$ .若过 $A, B^{'}, F$ 三点的圆的半径为 $a$ ，则 $C$ 的离心率为.

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14. 若 ${(\sqrt{3} + i)}^{99} = x + y i$ ，则 $x + 2 y =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a x + b \ln x$ 在 $x = 1$ 处的切线平行于 $x$ 轴.

(1)、求 $a$ 与 $b$ 的关系；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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16. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别是 $a, b, c, △ A B C$ 的面积记为 $S$ ，已知 $3 c \sin C = \frac{S}{a \cos A}, \sin B = 3 \sin C$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若BC边上的中线长为1，AD为角 $A$ 的平分线，求CD的长.

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17. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 2$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = 60^{°}$ .

(1)、求证：直线 $A_{1} C ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ ；

(2)、求平面 $A_{1} B D$ 与平面 $B D D_{1} B_{1}$ 夹角的余弦值.

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18. 某医学研究团队经过研究初步得出检测某种疾病的患病与否和某项医学指标有关，利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值

c

，将该指标大于

c

的人判定为阳性（患病），小于或等于

c

的人判定为阴性（未患病）.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率.

(1)、随机抽取男女各500人进行检验，采用临界值

c = 97.5

进行判定时，误判共10人（漏诊与误诊之和），其中2男8女，写出

2 \times 2

列联表，依据小概率值

α = 0.050

的独立性检验，能否认为误判与性别有关？

(2)、经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布表：

指标	[95，100]	（100，105]	（105，110]	（110，115]	（115，120]	（120，125]	（125，130]
患病者频率	0.01	0.06	0.17	0.18	0.2	0.2	0.18
指标	[70，75]	$(75, 80]$	$(80, 85]$	$(85, 90]$	$(90, 95]$	$(95, 100]$	$(100, 105]$
未患病者频率	0.19	0.2	0.2	0.18	0.17	0.05	0.01

假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若漏诊率和误诊率同时控制在 $2.5 %$ 以内（小于等于 $2.5 %$ ），求临界值 $c$ 的范围；

(3)、在（2）条件下，求出误判率（漏诊率与误诊率之和）最小时的临界值

c_{0}

及

c_{0}

对应的误诊率和漏诊率.

附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$α$	0.100	0.050	0.010	0.001
$x_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828

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19. 已知 $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $O$ 为坐标原点，过焦点 $F$ 作一条直线 $l_{0}$ 交 $C$ 于A，B两点，点 $M$ 在 $C$ 的准线 $l$ 上，且直线MF的斜率为 $- 1, △ O F M$ 的面积为1.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、试问在 $l$ 上是否存在定点 $N$ ，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、过焦点 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线 $l_{1}$ 与抛物线 $C$ 交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上.

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