广东省珠海市金砖四校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-11-21 类型：期中考试

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一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 直线 $x + \sqrt{3} y - 2 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 样本数据45，50，51，53，53，57，60的下四分位数为（）

A、50 B、53 C、57 D、45

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3. 对空中移动的目标连续射击两次，设 $A = {$ 两次都击中目标 $}, B = {$ 两次都没击中目标 $), C =$ {恰有一次击中目标}， $D = {$ 至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（）

A、 $A \subseteq D$ B、 $A \cup C = B \cup D$ C、 $A \cup C = D$ D、 $B \cap D = \emptyset$

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4. 已知组数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{n}$ 的平均数为2，方差为5，则数据2 $x_{1}$ +1，2 $x_{2}$ +1，…，2 $x_{n}$ +1的平均数 $\bar{x}$ 与方差 $s^{2}$ 分别为（）

A、 $\bar{x}$ =4， $s^{2}$ =10 B、 $\bar{x}$ =5， $s^{2}$ =11 C、 $\bar{x}$ =5， $s^{2}$ =20 D、 $\bar{x}$ =5， $s^{2}$ =21

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5. 从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人参加普法知识竞赛，则甲被选中的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 4, - 2)$ ， $\vec{c} = (1, 3, λ)$ ，若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面，则 $λ =$ （）

A、4 B、2 C、3 D、1

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7. 已知空间向量 $\vec{a} = (3, 4, 0)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1, 4)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量坐标是（）

A、 $(- 3, - 4, 0)$ B、 $(- \frac{3}{5}, - \frac{4}{5}, 0)$ C、 $(\frac{3}{5}, - \frac{1}{5}, - \frac{4}{5})$ D、 $(3, - 1, - 4)$

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8. 已知直线 $l$ 经过定点 $C (0, - 1)$ ，若直线 $l$ 与连接 $A (- 1, 0), B (2, 1)$ 两点的线段总有公共点，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$ D、 $(- 1, 1)$

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二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（）

A、平均数为3 B、标准差为 $\frac{8}{5}$ C、众数为2 D、85%分位数为5

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10. 有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用 $x$ 表示第一次取到的小球的标号，用 $y$ 表示第二次取到的小球的标号，记事件 $A$ ： $x + y$ 为偶数， $B$ ： $x y$ 为偶数，C： $x > 2$ ，则（）

A、 $P (B) = \frac{3}{4}$ B、 $A$ 与 $B$ 相互独立 C、 $A$ 与 $C$ 相互独立 D、 $B$ 与 $C$ 相互独立

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11. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P在线段 $B_{1} C$ 上运动，则下列结论正确的是（）

A、直线 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、三棱锥 $P - A_{1} C_{1} D$ 的体积为定值 C、异面直线 $A P$ 与 $A_{1} D$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ D、直线 $C_{1} P$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 在空间直角坐标系 $O x y z (O$ 为坐标原点）中，点 $A (4, - 6, - 3)$ 关于 $y$ 轴的对称点为点 $B$ ，则点 $B$ 的坐标为.

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13. 某校学生志愿者协会共有200名成员，其中高一学生100名，高二学生60名，高三学生40名.为了解志愿者的服务意愿，需要用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则高三学生应抽取名.

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14. 如图，电路中A、B、C三个电子元件正常工作的概率分别为 $P (A) = 0.8$ ， $P (B) = P (C) = 0.6$ ，则该电路正常工作的概率.

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四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知 $\overset{⃑}{a} = (2, - 1, - 4), \overset{⃑}{b} = (- 1, k, 2)$ .

(1)、若 $(\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}) / / (\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b})$ ，求实数 $k$ 的值；

(2)、若 $(\overset{⃑}{a} + 3 \overset{⃑}{b}) ⊥ (\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b})$ ，求实数 $k$ 的值.

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16. 连续抛掷一枚均匀的骰子2次，试求下列事件的概率：

(1)、第一次掷出的点数恰好比第二次的大3；

(2)、第一次掷出的点数比第二次的大；

(3)、2次掷出的点数均为偶数．

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17. $△ A B C$ 的三个顶点是 $A (4, 0)$ ， $B (6, 7)$ ， $C (0, 3)$ ，求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；
（2）边BC上的高所在直线的方程；
（3）边BC的垂直平分线的方程．

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18. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记 $C M = B N = a$ $(0 < a < \sqrt{2})$ ．
（1）求MN的长；
（2）a为何值时，MN的长最小？
（3）当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．

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19. 随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮．为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了 $40$ 名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了 $6$ 个区间： $(0, 10]$ 、 $(10, 20]$ 、 $(20, 30]$ 、 $(30, 40]$ 、 $(40, 50]$ 、 $(50, 60]$ ，整理得到如下频率分布直方图：

(1)、求图1中 $a$ 的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数；

(2)、估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值 $\bar{x_{乙}}$ 及方差 $s_{乙}^{2}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(3)、若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为 $m$ 、 $n$ 的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为： $\bar{x}$ 、 $s_{1}^{2}$ 与 $\bar{y}$ 、 $s_{2}^{2}$ ，记总的样本平均数为 $\bar{w}$ ，样本方差为 $s^{2}$ ，证明：
① $\bar{w} = \frac{m}{m + n} \bar{x} + \frac{n}{m + n} \bar{y}$ ；
② $s^{2} = \frac{1}{m + n} \{m [s_{1}^{2} + {(\bar{x} - \bar{w})}^{2}] + n [s_{2}^{2} + {(\bar{y} - \bar{w})}^{2}]\}$ ．

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