浙江省杭州市淳安县2024-2025学年九年级上学期期中检测数学试题

试卷更新日期：2024-11-21 类型：期中考试

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一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（）

A、 $y = 2 x^{2} - x$ B、 $y = 2 x + 1$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = \frac{1}{4} x$

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2. 下列事件中，属于随机事件的是（）

A、明天太阳从西方升起 B、从装有6个白球的袋中摸出一个红球 C、奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心 D、掷一次骰子，朝上一面的点数大于0

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3. 抛物线y＝－3(x＋2)²－5的顶点坐标是（）

A、(2，5) B、(2，－5) C、(－2，5) D、(－2，－5)

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4. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，若 $∠ A O C = 160 °$ ，则 $∠ A B C$ 的度数是（）

A、 $80 °$ B、 $100 °$ C、 $140 °$ D、 $160 °$

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5. 某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一事件结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）

A、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C、掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是4 D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀

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6. 如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝100°，∠D＝50°，则∠α的度数是（）

A、50 B、60 C、40 D、30

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7. 在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b是常数）的图象经过点P（﹣2，0），且与y轴正半轴相交，则二次函数y＝ax²+bx+1的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝4，P是ED的中点，连结AP，则AP的长为( )

A、 $4 \sqrt{3}$ B、8 C、 $2 \sqrt{13}$ D、 $2 \sqrt{11}$

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9. 设二次函数y＝a(x﹣m)(x﹣m﹣k)（a＞0，m，k是实数），则（）

A、当k＝6时，函数y的最小值为﹣6a B、当k＝6时，函数y的最小值为﹣9a C、当k＝8时，函数y的最小值为﹣8a D、当k＝8时，函数y的最小值为﹣20a

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10. 如图，在以点O为圆心的半圆中，AB是直径， $\overset{⌢}{A D}$ ＋ $\overset{⌢}{B C}$ ＝ $\overset{⌢}{C D}$ ，连接AC，BD交于点E，连接OC交BD于点F，若CE＝ $\frac{1}{2}$ AB，则CE：CA的值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．

11. 已知⊙O的面积为25π，若OP＝4，则点P与圆的位置关系是．

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12. 若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的面积是．

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13. 一个仅装有球的不透明布袋里共有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为 $\frac{3}{4}$ ，则 $n =$ ．

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14. 如图，已知一次函数y₁＝2x﹣2，二次函数y₂＝﹣x²+bx+c（b，c为常数）两函数图象交于点（3，m），（n，﹣6），当y1＜y2时，x的取值范围为．

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15. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是．

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16. 设二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0，b、c是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
x
…
-3
-2
-1
0
…
y
…
n
1
p
1
…
有以下结论：①函数图象的对称轴是直线x＝1；②若p、n都是正数，则a的取值范围是﹣ $\frac{1}{3}$ ＜a＜1且a≠0；③当﹣2≤x≤0时，恒有y≥0，则a的取值范围是0＜a≤1．其中正确的结论是．（只填序号）

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三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知二次函数y＝x²＋bx＋c（b、c为常数）的图象经过点(1，0)，(3，0）.

(1)、求该二次函数的表达式和顶点坐标；

(2)、当y＝8时，求x的值.

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18. 旅客在网购高铁车票时，系统是随机分配座位的.小王和小李打算购买从杭州到北京的高铁车票（如图所示，同一排的座位编号为A，B，C，D，F），假设系统已将两人分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的.
窗
A
B
C
过道
D
F
窗

(1)、求系统将王某安排到靠窗座位的概率；

(2)、求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率.

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19. 如图

(1)、如图①，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC＝10，BC＝12，求⊙O的半径．

(2)、如图②，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，P是⊙O上一点．请你只用无刻度的直尺，画出图②中∠P的平分线．（保留作图痕迹）

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20. 某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套利润40元，为了扩大销售，增加利润，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．

(1)、求y关于x的函数表达式；

(2)、当每套书降价多少元时，书店一天可获最大利润？最大利润为多少？

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21. 如图△ABC中，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC，BC分别交⊙O于E，D，连接ED，BE．

(1)、求证：DE＝BD；

(2)、如果BC＝8，AB＝6，求BE的长．

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22. 综合与实践
素材1：一年一度的科技节即将到来，小明所在的科技小组研制了一种航模飞机．通过多次实验，收集了飞机的水平飞行距离x（单位：m）与相对应的飞行高度y（单位：m）的数据（如表）
飞行水平距离x（单位：m）
0
20
40
60
80
100
…
飞行高度y（单位：m）
0
40
64
72
64
40
…
素材2：如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞航模飞机，已知航模的飞行高度y（单位：m）与水平飞行距离x（单位：m）满足二次函数关系．
任务1：请求出y关于x的函数关系式（不用写自变量的取值范围），并求出航模的最远飞行距离；
任务2：在安全线上设置回收区域，点M的右侧为回收区域（包括端点M），AM＝125m．若飞机落在回收区域内，求发射平台相对于安全线的最低高度．

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23. 已知二次函数y＝ax²+bx﹣5a（a，b是实数，a≠0）．

(1)、求证：若该函数图象与x轴一定有两个不同的交点；

(2)、若b＝﹣2a，a＞0，该函数图象经过A（n+1，y₁），B（n﹣1，y₂）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y₁＜y₂ ，求n的取值范围．

(3)、若该二次函数满足当x≥0时，总有y随x的增大而减小，且过点（2，1），求b²﹣2a的最小值．

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24. 如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AD＝BC，延长AB到E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．

(1)、若⊙O的半径为2，∠DAB＝120°，求劣弧 $\overset{⌢}{B D}$ 的长；

(2)、如图2，连接BD，求证：∠DBA＝∠FBE；

(3)、如图3，G是BD的中点，过B作AE的垂线交⊙O于点P，连接PG，PF，求证：PG＝PF．

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飞行水平距离x（单位：m）	0	20	40	60	80	100	…
飞行高度y（单位：m）	0	40	64	72	64	40	…