浙江省杭州市采荷中学2024-2025学年九年级上册期中数学试卷

试卷更新日期：2024-11-20 类型：期中考试

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一、选择题（本题有10小题,每小题3分,共30分）

1. 下列事件中，属于不可能事件的是（）

A、一匹马奔跑的速度是100米/秒 B、射击运动员射击一次，命中10环 C、班里有两名同学的生日在同一天 D、在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下

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2. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ 的值是（　　）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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3. 已知 $⊙ O$ 的直径是10，点P到圆心O的距离是10，则点P与 $⊙ O$ 的位置关系是（）

A、点P在 $⊙ O$ 内 B、点P在 $⊙ O$ 上 C、点P在 $⊙ O$ 外 D、点P在圆心

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4. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线解析式为（）

A、 $y = 2 {(x - 1)}^{2} - 3$ B、 $y = 2 {(x + 1)}^{2} - 3$ C、 $y = 2 {(x - 1)}^{2} + 3$ D、 $y = 2 {(x + 1)}^{2} + 3$

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5. 如图， $A B / / C D / / E F, A D : D F = 3 : 1, B E = 12$ ，那么CE的长为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 关于二次函数 $y = 2 (x + 2)^{2} - 4$ ，下列说法正确的（）

A、函数图象开口向下 B、函数图象的对称轴是：直线 $y = - 2$ C、该函数有最大值-4 D、当 $x \geq - 2$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大

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7. 下列关于正多边形的叙述，正确的是（）

A、正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B、存在一个正多边形，它的外角和为 $72 0^{°}$ C、任何正多边形都有一个外接圆 D、不存在外角的度数是相邻内角度数两倍的正多边形

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8. 如图，在 $⊙ O$ 中，OA为半径，弦 $B C / / O A, A C$ 与OB相交于 $M, ∠ C = 2 0^{°}$ ，则 $∠ A M B$ 的度数为（）

A、 $3 0^{°}$ B、 $6 0^{°}$ C、 $5 0^{°}$ D、 $4 0^{°}$

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9. 如图，AB为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为弧AB上一点， $A D / / O C, A D$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接AC，CD，设 $∠ B O C = x^{°}, ∠ A C D = y^{°}$ ，则下列结论成立的是（）

A、 $x + y = 90$ B、 $2 x + y = 90$ C、 $2 x + y = 180$ D、 $x = y$

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10. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ （ $c$ 为常数）经过点 $(4, c)$ ，一元二次方程 $x^{2} + b x + c = m$ 的两个解为p，q，当 $1 \leq q - p < 6$ 时，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $c - 4 ⩽ m < c + 5$ B、 $c - \frac{15}{4} ⩽ m < c + 5$ C、 $c < m ⩽ c + 5$ D、 $c - 3 ⩽ m < c + 24$

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二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分）

11. 已知线段 $c$ 是线段a、b的比例中项，且 $a = 4, b = 16$ ，则线段 $c$ 的长度为.

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12. 一个不透明的布袋内只装有 $n$ 个红球和1个黑球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球是红球的概率为 $\frac{2}{3}$ ，则 $n$ 的值为.

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13. 点 $C$ 是线段AB的黄金分割点，且 $A C > B C, A B = 4$ ，则AC的长为.

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14. 如图，已知等边 $△ A B C$ 以 $C$ 为旋转中心，按逆时针方向旋转 $α^{°} (0 < α < 180)$ ，得到 $△ D E C$ ，若 $C D ⊥ A B$ ，等边三角形边长为1，则点 $A$ 的运动路径长为.

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15. 如图，在边长为1个单位长度的小证方形组成的网格中，小正方形的顶点叫格点，格点A，B的连线与格点C. $D$ 的连线交于点 $E$ ，若经过点B，D，E作圆，则图中阴影部分的面积为.

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16. 如图，在半径为4的 $⊙ O$ 中，CD为直径， $O H = 2$ ， $C D ⊥ A B$ 于点 $H$ ，点 $E$ 为 $⊙ O$ 上一动点， $C F ⊥ A E$ 于点 $F$ ，则弦AB的长度为；当点 $E$ 在 $⊙ O$ 的运动过程中，线段FO的长度的最小值为.

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三、解答題（本题有8小题,共72分,解答需写出必要的文字说明演算步骤或证明过程）

17. 在 $6 \times 6$ 的网格中，线段AB的两个端点都在格点上.

(1)、如图1，C、D也在格点上，连结AB、CD相交于点 $O$ ，则 $\frac{A O}{B O} =$ .

(2)、如图2，仅用无刻度的直尺在线段AB上作点 $M$ ，使 $A M : B M = 2 : 3$ .

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18. 某初中九年级开展数学课题学习，设置了"视力的变化"，"哪种方式更合算"，"设计遮阳棚"三种课题供学生选择，每名同学只选择一项课题进行学习根据九（1）班学生的选择情况，绘制了如下表格：
课题
选择次数
频率
A“视力的变化”
4
a
B“哪种方式更合算”
b
0.4
C“设计遮阳棚”
20
0.5
请综合上述信息回答下列问题：

(1)、 $a =$ ； $b =$ ；

(2)、某班有3男1女四名学生选择了"视力的变化"课题，老师决定从这四人中随机选取两人作为组长，这两人正好是1男1女的概率是多少?请你用列表或画树状图的方法说明理由.

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19. 如图，AB是半圆 $O$ 的直径，点C、D是半圆上两点，且 $O D / / B C, O D$ 与AC交于点 $E$ .

(1)、求证：E为AC的中点.

(2)、若AC=8，DE=3，求AB的长度：

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20. 十一黄金周期间，某商场销售一种成本为每件60元的服装，经试销发现，销售量 $y$ （件）与销售单价 $x$ （元）符合一次函数 $y = - x + 120$ .

(1)、销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为500元?

(2)、设该商场获得利润为 $W$ 元，试写出利润 $W$ 与销售单价 $x$ 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少?

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21. 如图，在平行四边形ABCD中，DE交BC于F，交A8的延长线于E，且∠EDB=∠C.

(1)、求证： $△ A D E ∽ △ D B E$ ；

(2)、若 $D E = 2 \sqrt{10} c m, A E = 8 c m$ ，求AB的长.

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22. 已知二次函数 $y = x^{2} + a x + a (a$ 为常数，且 $a \neq 0)$ .

(1)、若函数经过点（ $- 2, 5$ ），求二次函数的解析式和顶点坐标.

(2)、当 $0 < a < 4$ 时，求该二次函数的图象与 $x$ 轴的交点个数.

(3)、设 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ 是该函数图象上的两点，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，当 $x_{1} + x_{2} > 4$ 时，都有 $y_{1} < y_{2}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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23. 阅读素材，完成任务

如何确定灌溉方案
素材一	图1是一种 $36 0^{°}$ 自动旋转农业灌溉摇臂喷枪，点 $P$ 为喷水口，喷水的区域覆盖了整个圆面。图2喷出的水柱形成的图象是以水平方向为 $x$ 轴，喷枪底座中心为原点建立直角坐标系，水柱喷出的外围路径可以近似抛物线 $y = - \frac{1}{6} x^{2} + \frac{4}{3} x + c$ 和 $y = - \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + c$ 的一部分，量得 $O B = 10 m$ .
素材二	现有一块四边形CDEF农田，它的四个顶点C、D、E、F恰好都在 $⊙ O$ 上，如图3， $D F = 12 \sqrt{3}, ∠ E = 6 0^{°}$ ，如果喷水口上升时，水柱喷出的形状与原来相同，现要求喷水的区域覆盖整块四边形CDEF农田.
问题解决（利用素材1完成任务1和任务2，结合素材2完成任务3）
任务1	确定喷枪的高度	求OP的长
任务2	拟定方案1	一种高为1.5m的农作物，为了能灌溉到所有农作物的顶端，求该农作物种植的最大半径.
任务3	拟定方案2	要使喷水的区域覆盖整块四边形CDEF农田喷水口P应至少上升多少米

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24. 如图1， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 内接三角形，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $△ A E D$ ，其中点 $D$ 在圆上，点 $E$ 在线段AC上

(1)、求证：DE=DC.

(2)、如图2，过点B作 $B F / / C D$ 分别交AC、AD于点M、N，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接AF，求证： $A N \cdot B C = A F \cdot B M$ .

(3)、在（2）的条件下，若 $\frac{A B}{A C} = \frac{1}{3}$ 时，求 $\frac{B F}{B C}$ 的值.

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课题	选择次数	频率
A“视力的变化”	4	a
B“哪种方式更合算”	b	0.4
C“设计遮阳棚”	20	0.5