浙江省宁波市镇海蛟川书院2024-2025学年七年级上学期期中考试数学卷

试卷更新日期：2024-11-20 类型：期中考试

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分。请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）

1. $- 2024$ 的绝对值是（）

A、 $- 2024$ B、 $\frac{1}{2024}$ C、2024 D、 $- \frac{1}{2024}$

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2. 下列各式中，错误的是（）

A、 $- 2^{3} = - 8$ B、 $- \frac{4}{3} < - \frac{5}{4}$ C、 $\sqrt{1 \frac{7}{9}} = \frac{4}{3}$ D、 $| - 3 |^{3} = - 27$

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3. 第三十三届夏季奥林匹克运动会已落下帷幕.16天来，来自全球206个国家和地区代表团的10500位运动员齐聚巴黎，在塞纳河畔、埃菲尔铁塔下，公平竞争，友好交流，向全世界奉献了一场精彩的体育盛宴．其中10500用科学记数法表示为（）

A、 $1.05 \times 1 0^{4}$ B、 $10.5 \times 1 0^{3}$ C、 $1.05 \times 1 0^{5}$ D、 $105 \times 1 0^{2}$

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4. 在实数： $- 1 \frac{2}{5}, \frac{\sqrt{25}}{2}, 3.1415926, 0 . \dot{3}, \sqrt[3]{27}$ ， 0.1010010001．…（每2个1之间依次多一个0）中，无理数的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 下列各式的计算结果正确的是（）

A、 $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} - y) = - x^{2} + 2 y$ B、 $9 a^{2} b - 5 b a^{2} = 4 a^{2} b$ C、 $(a - b) + (b - c) + (a - c) = 0$ D、 $2 x + 3 y = 5 x y$

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6. 已知大喇叭和小音箱的单价分别为x元、y元．广播操比赛前夕，大喇叭按七折出售．此时购买两个大喇叭和一个小音箱共需（）元（用含x、y的代数式表示）．

A、 $2 x + y$ B、 $0.7 x + y$ C、 $1.4 x + y$ D、 $0.7 x + 2 y$

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7. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之为四两，九两分之为半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤 $= 16$ 两，故有“半斤八两”这个成语）．设共有x两银子，根据题意可列方程（（）

A、 $7 x + 4 = 9 x - 5$ B、 $\frac{x - 4}{7} = \frac{x + 5}{9}$ C、 $7 x + 4 = 9 x - 8$ D、 $\frac{x - 4}{7} = \frac{x + 8}{9}$

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8. 已知： $a < - \sqrt{24} < b$ ，且a ， b为两个连续的整数，则 $a + 2 b =$ （）

A、 $- 12$ B、 $- 13$ C、 $- 14$ D、 $- 15$

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9. 实数a ， b在数轴上的位置如下图所示，则 $| - a | + 2 | b + 1 | - 3 | a + b |$ 的化简结果为（）

A、 $- 2 a - 5 b - 2$ B、 $- 2 a - 5 b + 2$ C、 $4 a + b + 2$ D、 $4 a + b - 2$

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10. 在一个 $3 \times 3$ 方格中填写9个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和相等．若方格中9个数的和为m ，则称这个三阶幻方为“m幻方”．例如：图1中的三阶幻方为“45幻方”．如果图2中的三阶幻方为“m幻方”，则m的值为（）

A、33 B、36 C、39 D、42

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二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）

11. $- 8$ 的立方根是．

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12. 单项式 $\frac{3 x^{3} y z^{2}}{8}$ 的系数为，次数为．

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13. 将14.2857精确到百分位的结果是．

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14. 若 $4 x^{2 a} y^{3}$ 和 $- y^{b} x^{16}$ 是同类项，则 $b - a =$ ．

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15. 若一个正数的平方根分别为 $4 - m$ 和 $2 m - 11$ ，则这个正数是．

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16. 某同学解关于x的方程， $\frac{3 x - 1}{3} = 1 - \frac{4 x + a}{6}$ ，在去分母时，漏乘方程右边的常数项，求得错误的解为 $x = 2$ ，则 $a =$ ，该方程正确的解为 $x =$ ．

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17. 数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号 $f (x)$ 来表示．当 $x = a$ （a为常数）时，用 $f (a)$ 来表示该多项式的值．若 $f (x) = 2 x^{3} - 5 k^{2} x^{2} - \frac{5}{2} k x + 9$ ，且 $f (- 2) = 0$ ，则 $12 k^{2} - 3 k - 5$ 的值为．

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18. 有些数学问题从正面入手求解比较繁琐，但如果从问题的反面思考，往往能开拓解题思路、简化运算过程．下图是一张 $99 \times 99$ 方格纸的左上角的部分，用图中的方式从左上角的格子开始涂色，直到不能涂色为止，则在原方格纸上有个格子被涂色．

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三、解答题（本题有6小题，第19题9分，第20题6分，第21题6分，第22题8分，第23题7分，第24题10分，共46分）

19. 计算：

(1)、 $- 112 \times (- 0.75) + 18 \times \frac{3}{4} + 40 \times (1 - | - \frac{1}{4} |)$

(2)、 $(- 1)^{2024} + 27 \times (- \frac{4}{9} + \frac{1}{3} + 2)$

(3)、 $\sqrt{{(- \frac{3}{4})}^{2}} + \sqrt[3]{0.001} \times 2$

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20. 解方程：

(1)、 $2 x - (x + 10) = 5 x$

(2)、 $\frac{0.02 x - 0.01}{0.7} = \frac{x}{0.3} - \frac{1}{7}$

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21. 已知： $A = 2 a b - a + 1, B = - a b + 3 b - 6$

(1)、当 $a + b = 6, a b = 5$ 时，求 $4 B - 12 A - 21$ 的值；

(2)、若多项式 $A + m B$ 不含ab项，求m的值．

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22. 定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如： $2 x = 4$ 和 $2 x - 1 = 0$ 互为“优雅方程”

(1)、判断： $x + 1 = 0$ （填“是”或“不是”） $- 3 x + 5 = 4 x + 12$ 的“优雅方程”．

(2)、若方程 $2 (x + 4) - 9 = 0$ 与关于x的方程 $2 x - (a + 10) = 6 x$ 互为“优雅方程”，求a的值．

(3)、若两个关于x的方程 $m x + 2 = 1$ （m为正整数）与 $1 = 7 - n x$ （n为负整数）互为“优雅方程”，求出所有满足条件的m、n的值．

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23. 【知识链接】
在求解几何图形的面积时，通常会利用割、补等手段．所谓“割”，就是将原图形分为若干个常见的规则图形（如正方形、直角三角形等），分割后各个图形的面积之和等于原图形的面积．
纵观历史，我国著名的数学家赵爽在《勾股圆方图注》中绘制了一张弦图（见下图），并将大正方形中四个完全相同的直角三角形命名为朱实，中间的小正方形命名为黄实．上述规则图形无缝隙、无重叠．
【问题探究】
一张赵爽弦图如下图所示．若四个直角三角形的两条直角边都分别为a和b（即 $A F = B G = C H = D E = a$ ， $A G = B H = C E = D F = b$ ），且 $a < b$ ．

(1)、请你用含a、b的代数式表示出正方形EFGH的面积S ，并求出当 $a = 5, b = 12$ 时，S的值．

(2)、现将赵爽弦图中的四个完全相同的直角三角形分别沿着正方形ABCD的四条边向外翻折，得到如下图所示的大正方形IJKL记正方形EFGH的面积为 $S_{1}$ ，正方形ABCD的面积为 $S_{2}$ ，正方形IJKL的面积为 $S_{3}$ 请问是否存在常数k使得 $S_{1} + S_{3} = k S_{2}$ 成立？若存在，请求出k的值：若不存在，请说明理由．

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24. 数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成探究任务
【素材1】灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如下图），其中点A表示的数为a ，点B表示的数为b ，点C表示的数为c ．已知a、b、c满足 $| a + 3 | + (6 + c)^{2} = - \sqrt{b - 7}$ ．
【素材2】
通达小组分别以“灵动数轴”中的点A和点B为中心旋转一定角度，形成了如下图所示的“数轴阶梯”，其中点A和点B之间的部分（包括点A和点B）叫做“阶梯坡面”．

(1)、【任务1】在“灵动数轴”中， $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ．

(2)、【任务2】
折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数．

(3)、【任务3】
点D落在“阶梯坡面”上， $B D = 7$ ．现在动点P、Q同时开始运动：点P从点C出发，以3个单位长度/秒的速度向点A运动，过点A后以2个单位长度/秒的速度“上坡”至点B ，再以5个单位长度/秒的速度“下坡”至终点A；点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度“上坡”至终点B ．当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动．当点P在“阶梯坡面”上运动时，满足 $2 A Q = 9 P Q$ ，若此时点P的运动时间为t秒，请直接写出t的值．

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