浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-05-08 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $P = {x ∣ x^{2} + 2 x - 3 < 0}$ ，集合 $Q = {x ∣ x^{3} > - 1}$ ，则 $P \cap Q =$ （）

A、 $(- 3, 1)$ B、 $(- 2, 1)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $(- 1, 3)$

查看试题解析
2. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} \log_{4} x, 0 < x < 1 \\ 2^{x}, x \geq 1 \end{cases}$ ，则 $f (\frac{1}{4}) + f (\log_{2} 3) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
3. $\frac{{cos}^{2} 25 ° - {sin}^{2} 25 °}{\sin 110 ° \cdot \cos 70 °} =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

查看试题解析
4. 在 $△ A B C$ 中，“ $\cos A = \sin B$ ”是“ $C = 90 °$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
5. 函数 $f : {\sqrt{2}, l n 2, c o s 2} \to {\sqrt{2}, l n 2, c o s 2}$ ， $g : {\sqrt{2}, l n 2, c o s 2} \to {\sqrt{2}, l n 2, c o s 2}$ ，如图所示，则 ${x ∣ f [g (x)] < g [f (x)]} =$ （）

A、 ${l n 2}$ B、 ${\sqrt{2}}$ C、 ${c o s 2}$ D、 $⌀$

查看试题解析
6. 我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等. 已知函数 $h (x) = tan (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 图象中的两条相邻“平行曲线”与直线 $y = 2024$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $|A B| = 3$ ，则 $f (\frac{3}{4}) =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

查看试题解析
7. 如图所示，在梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ，点 $E$ 是 $B C$ 上一点， $C E = 2 B E = 4, ∠ A E D = \frac{π}{3}$ ， $△ A D E$ 的面积为 $8 \sqrt{3}$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、8 D、 $8 \sqrt{2}$

查看试题解析
8. 已知 $x = \log_{0.5} x$ ， $x^{y} = \log_{0.5} y$ ， ${0.5}^{z} = \log_{x} z$ ，则（）

A、 $z < x < y$ B、 $y < z < x$ C、 $x < y < z$ D、 $y < x < z$

查看试题解析

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9. 若 $|x + 2| + |a - x|$ 的最小值是1，则实数 $a$ 的值可以为（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $- 3$ D、 $- 4$

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = \frac{1 - m \cdot e^{x}}{m + e^{x}}$ 是定义域上的奇函数，则下列选项中错误的是（）

A、 $m = 1$ B、 $|f (x)| = 1$ 有解 C、 $f (2) + f (- 1) < 0$ D、 $y = f (2 + x)$ 与 $y = f (4 - x)$ 的图象关于 $x = 3$ 对称

查看试题解析
11. 若 $a$ ， $b$ 为函数 $f (x) = \sin (x + m) + x^{2} - 1$ 的两个不同零点，令 $h (m) = |a - b|$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $π$ 是函数 $h (m)$ 的一个周期 B、 $(0 ， \frac{π}{2})$ 是函数 $h (m)$ 的一个单调递减区间 C、函数 $h (m)$ 的图象是轴对称图形 D、函数 $h (m)$ 的图象是中心对称图形

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 用列举法表示集合 ${\frac{6}{9 - x} \in N | x \in N}$ 的结果为.

查看试题解析
13. 将函数 $y = 3 \cos (x + φ) (|φ| < \frac{π}{2})$ 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到曲线 $C$ . 若曲线 $C$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称，则 $φ$ 的值为.

查看试题解析
14. 已知 $x > 1$ ， $y > 1$ ， $z > 1$ ，且满足 ${l o g}_{x} 10 + {l o g}_{y} 10 = {l o g}_{x y} 10 + {l o g}_{z} 10 = 1$ ，则 $z$ 的最大值为.

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知不等式 $\frac{6 - x}{x - 3} \geq 0$ 的解集为 $A$ ，函数 $f (x) = lg (x^{2} - 2 x + a)$ 的定义域为 $B$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求 $a$ 的范围.

查看试题解析
16. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $2 f (x) + f (- x) = 2 x + 3$ .

(1)、求 $f (x)$ ；

(2)、若函数 $g (x) = 3^{f (x)} + t \cdot f (3^{x}) - t$ ， $x \in [- 1, 1]$ ，是否存在实数 $t$ 使得 $g (x)$ 的最小值为 $- 3$ ？若存在，求出实数 $t$ 的值；若不存在，请说明理由.

查看试题解析
17. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} sin ω x cos ω x + 2 sin ^{2} ω x - 1 (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $ω$ 的值及函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(π - α, α)$ 内既有最大值又有最小值，求 $α$ 的取值范围.

查看试题解析
18. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $s i n B (c c o s B + b c o s C) = \sqrt{3} a c o s B$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $C = \frac{π}{2}$ ，且 $C$ 的角平分线交 $A B$ 于 $P$ ， $Q$ 为边 $A C$ 的中点， $C P$ 与 $B Q$ 交于点 $D$ . 求 $c o s ∠ P D Q$ ；

(3)、若 $b = 5$ ，求 $△ A B C$ 内切圆半径 $r$ 的取值范围.

查看试题解析
19. 已知函数 $f (x) = \frac{m x^{2} + 4 x}{x^{2} + 1}$ ，函数 $g (x) = \frac{m}{2} x + 2$ .

(1)、若 $m = 0$ ，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、若 $m \in (0, 4]$ ：
（ⅰ）解关于 $x$ 的不等式： $f (x) \leq g (x)$ ；
（ⅱ）设 $a, b \in R$ ，若实数 $t$ 满足 $f (a) \cdot f (b) = - t^{2}$ ，比较 $g (t - m) - g (1)$ 与 $\frac{1}{8}$ 的大小，并证明你的结论.

查看试题解析