贵州省贵阳市第一中学2024届高三下学期高考适应性月考（七）（二模）数学试卷

试卷更新日期：2024-05-02 类型：高考模拟

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只存一项是符合题目要求的)

1. 数据2，3，5，6，7，7，8，10的上四分位数为（）

A、7.5 B、8 C、7 D、4

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2. 抛物线 $4 y^{2} + x = 0$ 的焦点坐标为（）

A、 $(0, - 1)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(0, - \frac{1}{16})$ D、 $(- \frac{1}{16}, 0)$

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3. 等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{3} = 1, S_{3} = 3$ ，则 $a_{4}$ 的值为（）

A、1或-1 B、 $\frac{1}{2}$ 或 $- \frac{1}{2}$ C、1或 $- \frac{1}{2}$ D、-1或 $\frac{1}{2}$

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4. 设 $l$ 为直线， $α$ 为平面，则 $l / / α$ 的一个充要条件是（）

A、 $α$ 内存在一条直线与 $l$ 平行 B、 $l$ 平行 $α$ 内无数条直线 C、垂直于 $α$ 的直线都垂直于 $l$ D、存在一个与 $α$ 平行的平面经过 $l$

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5. 已知 $x^{5} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + a_{3} {(x + 1)}^{3} + a_{4} {(x + 1)}^{4} + a_{5} {(x + 1)}^{5}$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、15 B、10 C、-10 D、-15

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6. 已知过点 $P (2, 2)$ 的直线 $l$ 与圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 5$ 相切，且与直线 $l_{1} : a x + y + 1 = 0$ 垂直，则 $a =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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7. 已知 $\cos α - \cos β = \frac{\sqrt{5}}{3}, \sin α - \sin β = - \frac{2}{3}$ ，则 $\tan (α + β)$ 的值为（）

A、 $- 4 \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{5}$ C、 $- 2 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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8. 已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为F，O为坐标原点，左顶点为 $A, M$ 是 $E$ 上一点， $△ A O M$ 为等腰三角形，且外接圆的周长为 $\sqrt{3} a π$ ，则双曲线 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{26}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{31}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{105}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{30}}{4}$

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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分.部分选对的得部分分.在选错的得0分)

9. 已知复数 $z = 1 + 2 i, z_{1} = a + b i (a, b \in R)$ ( $i$ 为虚数单位)， $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数.则下列结论正确的是（）

A、 $\bar{z}$ 的虚部为 $- 2 i$ B、 $\frac{| \bar{z} |}{| z |} = 1$ C、 $z^{2} = | z |^{2}$ D、若 $|z - z_{1}| \leq 1$ ，则在复平面内 $z_{1}$ 对应的点形成的图形的面积为 $π$

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10. 函数 $f (x) = A \tan (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $ω \cdot φ = \frac{2 π}{3}$ B、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{3}]$ 上的值域为 $(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, + \infty)$ C、函数 $y = | f (x) |$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{3}$ 对称 D、若函数 $y = | f (x) | + λ f (x)$ 在区间 $(- \frac{5 π}{6}, \frac{π}{6})$ 上不单调，则实数 $λ$ 的取值范围是 $[- 1, 1]$

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11. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = g (x) - g (- x) + 3 = f (3 - x)$ ，对 $\forall x_{1}, x_{2} \in (1, 2]$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，恒有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ ，则下列命题是真命题的有（）

A、 $(2025, 3)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 B、 $f (x)$ 在区间 $(2024, 2026)$ 上单调递减 C、对 $\forall x \in (\frac{4051}{2}, \frac{4053}{2})$ ，恒有 $f (x) > f (x + 1)$ D、 $\sum_{n = 1}^{2026} f (n) > 6078$

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三、填空题(本大题共3小题.每小题5分，共15分)

12. 已知集合 $A = \{x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0, x \in R\}$ ，集合 $B = \{x | \log_{a} x > 1, a > 0,$ 且 $a \neq 1\}$ ，若 $A \cap B = \emptyset$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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13. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c,$ 且 $2 a \cos B = c - a$ .当 $\frac{c + 4 a}{b}$ 取最小值时， $A =$ .

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14. 已知长轴与短轴长分别为2a与2b的椭圆围成区域的面积为 $π a b (a > b > 0)$ ，现要切割加工一个底面半径为 $2 \sqrt{3}$ 、高为 $3$ 的圆柱形零件(如图所示)，截面经过圆柱的一个底面中心，并且与底面所成角为 $30^{\circ}$ ，然后在切割后得到的两个部件表面都刷上油漆，则所刷油漆的面积为 .

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四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或㴤算步膯)

15. 已知函数 $f (x) = a x \ln x + \frac{1}{2 x}, a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时.求 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若方程 $f (x) = x^{3} + \frac{1}{2 x}$ 存两个不等的实数根，求 $a$ 的取值范围.

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16. 一个袋子中放有10个大小相同的小球，其中有5个红球，5个白球.现从中抽取两次，一次抽取两个球.若第一次抽出后不放回.

(1)、求第一次抽到两个红球的条件下，第二次抽到两个白球的概率；

(2)、若一次抽出的两个球同色即中奖，求中奖次数X的概率分布和数学期望.

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17. 如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面为菱形，且 $∠ D A B = 60^{°}, E, O$ 分别是上，下底面的中心， $F$ 是AB的中点， $A B = k A A_{1}$ .

(1)、当 $k = 2$ 时，求直线 $A_{1} F$ 与直线EC所成角的余弦值；

(2)、是否存在实数k，使得 $O$ 在平面EBC内的射影 $O_{1}$ 恰好为 $△ E B C$ 的重心.若存在，求出点 $O_{1}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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18. 一动圆圆 $C$ 与圆 $O_{1} : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ 外切，同时与圆 $O_{2} : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = \frac{49}{4}$ 内切.设动圆圆心 $C$ 的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、若曲线 $E$ 与 $x$ 轴的左、右交点分别为A、B，过点 $T (1, 0)$ 的直线 $l$ 与曲线 $E$ 交于P、Q两点，直线AP、BQ相交于点 $D$ ，当点 $D$ 的纵坐标为 $3 \sqrt{3}$ 时，若 $\vec{Q M} = λ \vec{M P}$ ，求 $| \vec{D M} |$ 的最小值.

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19. 给定数列 $\{a_{n}\}$ ，若满足 $a_{1} = a (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，对于任意的 $n, m \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + m} = a_{n} \cdot a_{m}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“指数型数列".

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n} = 2 a_{n} a_{n + 1} + 3 a_{n + 1} (n \in N^{*})$ ，判断数列 $\{\frac{1}{a_{n}} + 1\}$ 是不是“指数型数列"？若是，请给出证明，若不是，请说明理由；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 是“指数型数列”，且 $a_{1} = \frac{a + 2}{a + 3} (a \in N^{*})$ ，证明：数列 $\{a_{n}\}$ 中任意三项都不能构成等差数列.

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