浙江省初中名校发展共同体2024-2025学年第一学期九年级数学期中试卷

试卷更新日期：2024-11-19 类型：期中考试

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一、选择题（本大题有10题，每题3分，共30分．在每题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）

1. 下列函数属于二次函数的是（）

A、 $y = x - 1$ B、 $y = \frac{1}{x^{2}}$ C、 $y = x^{2} + x$ D、 $y = \frac{5}{x}$

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2. 若 $\frac{x}{y} = \frac{7}{3}$ ，则 $\frac{x - y}{y}$ 的值为( )

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{10}{3}$ C、 $\frac{10}{7}$ D、 $\frac{4}{7}$

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3. 已知点P到圆心O的距离为5，若点P在⊙O内，则⊙O的半径可能为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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4. 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象如图所示，则点（a，b＋c）位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 如图，△ABC内接于圆，过点B的直线与AC的延长线交于点D．若CD＝CB，且∠D＝25°，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的度数为（）

A、25° B、50° C、75° D、100°

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6. 已知点（2，y₁），（1，y₂），（－1，y₃）在抛物线y＝－x²＋2x＋m上，则（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ C、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ D、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$

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7. 如图，△ABC的中线BD，CE交于点G，且△ABC的面积为12，则（）

A、∠ADE＝∠AEC B、BG＝2DG C、CD²＝DG∙DB D、△DEG的面积为1.5

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8. 如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连结CD，交线段AB于点P．若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则（）

A、只有方法1对 B、只有方法2对 C、方法1，2都对 D、方法1，2都错

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9. 已知直线y＝kx＋1与抛物线y＝x²交于点A、B，与抛物线y＝x²＋2x－1交于点C、D．若AB＝CD，则k的值为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、－2

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10. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，连结AB，BC，CD．若AB＝8，CD＝5，∠B＋∠C＝60°，则⊙O的半径为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{7 \sqrt{3}}{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、5

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二、填空题（本大题有6题，每题3分，共18分．）

11. 正五边形的每个内角的度数是．

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12. 在半径为6的圆中，60°的圆心角所对的弧长为．

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13. 一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为5cm，水面宽AB＝8cm，则截面圆的圆心O到水面的距离OC＝cm．

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14. 若－1≤x≤m时，函数y＝(x－2)²＋1的最大值为17，则m＝．

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15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．将△ABC绕边BC的中点P旋转，得到△DEF，边DE恰好经过点C，过点A作AG⊥DE于点G，则CG的长为．

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16. 在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”．抛物线y＝ax²－2ax＋2a（a为常数）与直线y＝x交于M、N两点，若线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是．

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三、解答题（本大题有8题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分．）

17. 已知抛物线y＝x²－1．

(1)、说出该抛物线的开口方向和对称轴；

(2)、设该抛物线与x轴交于点A，B，求交点A，B之间的距离．

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18. 如图，在△ABC中，D是AC上一点，已知 $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A B}$ ．

(1)、求证：∠ABD＝∠C；

(2)、已知∠A＝20°，∠C＝40°，求∠CBD的度数．

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19. 某超市销售一种品牌糕点，每盒进价为50元，超市规定每盒售价不得低于60元．根据以往销售经验发现：当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒）．

(1)、求y关于x的函数表达式；

(2)、当每盒售价定为多少元时，超市销售该糕点的日均毛利润最大？最大日均毛利润是多少？

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20. 已知：在△ABC中，∠A＝30°，

(1)、利用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O；

(2)、若BC＝6，求⊙O的半径．

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21. 某游乐园要建造一个直径为26m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心5m处达到最高，高度为8m．

(1)、以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在y轴右侧抛物线的函数表达式；

(2)、要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度．

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22. 如图1，由四个全等的直角三角形的直角边拼接成一个正方形ABCD，我们称这样的图形为“弦图”，“弦图”是中国古代数学的瑰宝．在如图2的“弦图”中，连结AC，EG交于点O，设AC与EH，FG的交点分别为M，N．吴老师和学生们对此“弦图”进行研究性学习时，有如下交流：吴老师：利用弦图中的三角形全等关系可证明“四边形EFGH是正方形，O是AC和EG的中点．”；
小聪：这两个结论都能证明，我还发现“△AOE∽△EOM”；
小颖：我发现“已知AE，BE的长度，就能确定MN的长度”，如：“已知AE＝3，BE＝1，求MN的长．”结合上述师生的交流：

(1)、请你证明小聪发现的结论；

(2)、请你解答小颖提出的问题“已知AE＝3，BE＝1，求MN的长．”

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23. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋3（a≠0，b是实数）图象经过四点：（－1，m），（1，n），（2，3），（4，p）．

(1)、若m＝4，①求二次函数的表达式；②已知x≤2k－3时，y随x的增大而减小，求k的最大值．

(2)、若m，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数，求a的取值范围．

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24. 如图1，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，过点C作CD//AB，交⊙O于D，过D作DE⊥AB于点E，交BC于点M，连结AD．

(1)、求证：
①AD＝BC；
②AD2＝2AE∙AB．

(2)、如图2，若M是BC中点，求 $\frac{A B}{B C}$ 的值．

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