广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-11-19 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）

1. 若关于x的方程 $(m - 2) x^{2} + x + 1 = 0$ 是一元二次方程，则m的取值范围是（）

A、 $m \neq 2$ B、 $m > 0$ C、 $m \geq 0$ 且 $m \neq 2$ D、m为任何实数

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2. 如图所示的几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段 $A B = 3$ ，则线段 $B C$ 的长是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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4. 操场上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（）

A、0.764米 B、1.236米 C、1.412米 D、1.632米

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6. 如图，在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为 $468 m^{2}$ ，求道路的宽度．设道路的宽度为x（m），则可列方程（）

A、 $(30 - 2 x) (20 - x) = 468$ B、 $(20 - 2 x) (30 - x) = 468$ C、 $30 \times 20 - 2 \times 30 x - 20 x = 468$ D、 $(30 - x) (20 - x) = 468$

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7. 已知一次函数 $y = k x + 1 (k \neq 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ ，则其图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图所示，在正方形ABCD与等边 $△ D E F$ 中，A、D ， F三点在一条直线上，且 $A D = 8$ ， $D F = 6 \sqrt{3}$ ．若有一动点P沿着ED由E往D移动，则当CP的长度最小时，EP的长为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、4

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二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

9. 一元二次方程 $x^{2} = 6 x$ 的解是．

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10. 为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后发现捕捞的鱼中有记号的频率稳定在0.1左右，则鱼塘中估计有鱼约条．

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11. 如图，实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC距离为21米的B处，然后沿着射线CB退后到点E ，这时恰好在镜子里看到山头A ，利用皮尺测量 $B E = 2.4$ 米，若小宇的眼睛到地面的距离DE为1.6米，则假山AC高度为米．

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12. 如图，BD、CF将长方形ABCD分成四块， $△ D E F$ 的面积是 $4 c m^{2}$ ， $△ C E D$ 的面积是 $6 c m^{2}$ ，则四边形ABEF的面积是平方厘米．

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13. 如图，点A是双曲线 $y = \frac{\sqrt{2}}{x}$ 在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B ，以AB为斜边作等腰 $R t △ A B C$ ，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在这一函数图象上运动，则这个函数的解析式为．

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三、解答题（本大题共7小题，共61分）

14. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 2 m + 5 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，并且 $x_{1} \neq x_{2}$ ．

(1)、求实数m的取值范围；

(2)、若 $x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} = m^{2} + 6$ ，求m的值．

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15. 10月8日，麒麟中学“第二十四届科技节”隆重开幕，当天举行了丰富多彩的活动，A.三阶6面魔方挑战赛；B.科技知识竞赛；C.环保调查；D.自制地球仪；E.机器人编程挑战赛．为了解学生对这五类活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
根据上述信息，解决下列问题．

(1)、本次调查总人数为 ▲ ，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；

(2)、我校有2700名学生，请估计该校参加环保调查的学生人数；

(3)、该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市环保调查，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．

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16. 如图， $△ A B C$ 中， $A (- 4, 4)$ ， $B (- 4, - 2)$ ， $C (- 2, 2)$ ．

(1)、以O为位似中心，将 $△ A B C$ 缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请在y轴右侧画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(2)、 $△ A B C$ 的面积为．

(3)、在网格中找一点D ，使得 $△ B C D$ 是以BC为底边的等腰直角三角形，则点D的坐标为．

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17. 某地一村民，2022年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2024年共种植288亩．假设每年的增长率相同．

(1)、求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率．

(2)、某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元?

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18. 如图，在四边形ABCD中， $A B = C D$ ， $B C = A D$ ， E ， F分别是边CD ， BC上的点，连接BE ， DF交于点G ， $B E = D F$ ．添加下列条件之一使四边形ABCD成为菱形：① $C E = C F$ ；② $B E ⊥ C D$ ， $D F ⊥ B C$ ．

(1)、你添加的条件是 ▲ （填序号），并证明．

(2)、在（1）的条件下，连接CG ，若 $C G = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{6}$ ， $B G = 2 \sqrt{3}$ ，求菱形ABCD的面积．

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19. 根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽 $A B = 16$ 米时，桥洞顶部离水面距离 $C D = 4$ 米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于CD对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH ，测得 $E H = 8$ 米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式 $h = \frac{1}{10} t$ ．

(1)、问题解决：确定桥洞的形状．
建立平面直角坐标系如图3所示，CD落在第一象限的角平分线上．设点C为 $(m, m)$ ，
①点A的坐标为 ▲ ．（用m的代数式表示）；
②求出经过点A的双曲线的函数表达式．

(2)、探索应用：
这艘货船运载货物高3米（即 $E F = 3$ 米），此时货船能通过该桥洞吗?
若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物?（已知 $\sqrt{10} \approx 3.2$ ， $\sqrt{13} \approx 3.6$ ．）

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20. 综合与实践课上，徐老师和同学们开展了一场以“最小值”为主题的探究活动．
【提出问题】徐老师提出了一个问题：如图1，在矩形ABCD中， $A B = 6$ ， $B C = 12$ ， P为AD边上的一动点，以PC为边向右作等边 $△ P C E$ ，连接BE ，如何求BE的最小值?
【探究发现】小亮发现：如图4所示，以BC为边向下构造一个等边 $△ B C M$ ，便可得到 $△ P C M ≌ △ E C B$ ，进而将BE的最小值转化为PM的最小值的问题．

(1)、按照小明的想法，求证： $△ P C M ≌ △ E C B$ ；并求出BE的最小值．

(2)、【拓展应用】
小刚受此启发，举一反三，提出新问题：如图2，若将图1当中构造的等边三角形，改为以PC为边向右构造正方形PCFG ，在运动过程中，求出BG的最小值．

(3)、小红同学深入研究了小刚的问题，并又提出了新的问题：如图3，若将图2当中构造的正方形改为以PC为边向右构造菱形PCHI ，使 $∠ C P I = 120 °$ ，也可求得BI的最小值．请你直接写出BI最小值为．

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