浙江省宁波市第十五中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

试卷更新日期：2024-11-18 类型：期中考试

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一、选择题（本小题有8小题,每小题3分,共24分）

1. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 把二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 5$ 化为 $y = a (x - m)^{2} + k$ 的形式，则下列结论正确的是（）

A、 $y = (x + 2)^{2} + 1$ B、 $y = (x - 2)^{2} + 1$ C、 $y = (x + 2)^{2} - 1$ D、 $y = (x - 2)^{2} - 1$

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3. 有6张扑克牌面数字分别是3，4，5，7，8，10，从中随机抽取一张点数为偶数的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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4. $⊙ O$ 的半径为10cm，弦 $A B / / C D, A B = 12 c m, C D = 16 c m$ ，则AB和CD的距离为（）

A、2cm B、14cm C、2cm或14cm D、10cm或20cm

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5. 下列各点中，不可能在抛物线 $y = - x^{2} + 4 x + c (c < 0)$ 上的是（）

A、 $(2, 3)$ B、 $(4, - 3)$ C、（ $0, - 3$ ） D、 $(- 2, 3)$

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6. 如图，AB为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为AB上一点， $A D / / O C, A D$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接AC，CD，设 $∠ B O C = x^{°}, ∠ A C D = y^{°}$ ，则下列结论成立的是（）

A、 $x + y = 90$ B、 $2 x + y = 90$ C、 $2 x + y = 180$ D、 $x = y$

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7. 如图，在平面直角坐标系中，平行于 $x$ 轴的直线 $y = 2$ ，与二次函数 $y = x^{2}, y = 0.5 x^{2}$ 分别交于A，B和C，D，若 $C D = k A B$ ，则 $k$ 为（）

A、4 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 直线 $l_{1} / / l_{2} / / l_{3}$ ，且 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离为 $1, l_{2}$ 与 $l_{3}$ 的距离为3，把一块含有 $4 5^{°}$ 角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线 $l_{2}$ 交于点 $D$ ，则线段BD的长度为（）

A、 $\frac{25}{3}$ B、 $\frac{25}{4}$ C、 $\frac{20}{3}$ D、 $\frac{15}{4}$

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9. 如图所示，在长方形ABCD中，AC是对角线.将长方形ABCD绕点 $B$ 顺时针旋转 $9 0^{°}$ 到长方形GBEF位䈯， $H$ 是EG的中点.若 $A B = 6, B C = 8$ ，则线段CH的长为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{41}$ C、 $2 \sqrt{10}$ D、 $\sqrt{21}$

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10. 二次函数 $y = x^{2} + 2 x + c$ 的图象与 $x$ 轴的两个交点为 $A (x_{1} ， 0)$ ， $B (x_{2} ， 0)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，点 $P (m ， n)$ 是图象上一点，那么下列判断正确的是（）

A、当 $n > 0$ 时， $m < x_{1}$ B、当 $n > 0$ 时， $m > x_{2}$ C、当 $n < 0$ 时， $m < 0$ D、当 $n < 0$ 时， $x_{1} < m < x_{2}$

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二、填空题（本题有6小题，每小4分，共24分）

11. 已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2，b＝3，c＝6，则d的值是．

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12. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是．

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13. 设点P是线段A8的黄金分制点（AP<BP）BP=2厘米，那么线段AP的长是厘米

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14. 如图，用一个半径为 $3 cm$ 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点 $P$ 旋转了 $100 °$ ，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 $cm$ ．

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15. 如图，在三角形纸片中，∠A=80°，AB=6，AC=8.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（请在横线上填上符合条件的序号）

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16. 如图，正六边形ABCDEF的边长是3.点M、N是正六边形ABCDEF边BC和边CD上的动点，且满足BM=CN.点P是BC的中点.

(1)、∠AQB=

(2)、线段PQ的最小值是

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三、解答题（第17-18题每题6分，第19-22每8分，第23题10分，第24题12分，共66分）

17. 已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：4，且a+26+c=11.

(1)、求a、b、c的值：

(2)、若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值，

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18. 如图，电路图上有四个开关4、8、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关4，B，C都可使小灯泡发光.

(1)、任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于多少：

(2)、任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率.

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $D$ 在 $A C$ 上， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $△ A D E ∽ △ A B C$ ；

(2)、 $A C = 4$ ， $A B = 5$ 且 $A D = 3$ ，求 $A E$ 的长．

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20. 已知二次函数的解析式为 $y = a x^{2} + (a + 1) x + b$ ，其中 $a - b = 4$ .

(1)、若点 $^{(1, 3)}$ 在该函数图象上，求这个二次函数的解析式.

(2)、若 $(x_{1}, y_{1}) 、 (x_{2}, y_{2})$ 是二次函数图象上两个不同的点；当 $x_{1} + x_{2} = 2$ 时， $y_{1} = y_{2}$ ，求 $a$ 的值.

(3)、若该二次函数图象过点 $(- 1, t)$ ，且当 $x \geq - 1$ 时 $y$ 随 $x$ 的增大而增大，求 $t$ 的取值范围.

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21. 如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，AABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）

(1)、两出 $△ A B C$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $9 0^{°}$ 后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$

(2)、求点 $A$ 旋转到点 $A_{1}$ 所经过的路线长.

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22. 如图，在平行四边形ABCD中，点 $E$ 为BC边上一点，连接DE，点 $F$ 为线段DE上一点，且 $∠ A F E = ∠ B$ ，求证： $△ A D F ∽ △ D E C$ .

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23. 综合与实践
【问题提出】
勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中"贵金分割"给人以美感.课本第56页这样定义"黄金分割点"：如图1，点 $P$ 将线段AB分成两部分 $(A P > B P)$ ，若 $\frac{B P}{A P} = \frac{A P}{A B}$ ，则称点 $P$ 为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比.

(1)、【初步感知】
如图1，若 $A B = 1$ ，求临金比 $\frac{A P}{A B}$ 的值.

(2)、【类比探究】
如图2，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是BC边上一点，AD将 $△ A B C$ 分割成两个三角形（ $S_{△ A D D} > S_{△ A C D}$ ），若 $\frac{S_{△ A C D}}{S_{△ A B D}} = \frac{S_{△ A B D}}{S_{△ A B C}}$ ，则称AD为 $△ A B C$ 的黄金分割线.
①求证：点D是线段BC的黄金分割点：
②若△ABC的面积为4，求△ACD的面积.

(3)、【拓展应用】
如图3，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为A，B上的一点（不与A，B重合），过D作DE∥BC，交AC于E，BE，CD相交于 $F$ ，连接AF并延长，与DE，BC分别交于M，N.请问直线AN是 $△ A B C$ 的黄金分割线吗?并说明理由.

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24. 如图，四边形ABCD内接于 $⊙ O, A C$ 为 $⊙ O$ 的直径， $D E ⊥ A C$ 于点 $F$ 交BC于点 $E$ .

(1)、设 $∠ D B C = α$ ，试用含 $α$ 的代数式表示 $∠ A D E$ ；

(2)、如图2，若 $B E = 3 C E$ ，求 $\frac{B D}{D E}$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，作 $E Q ⊥ B D$ 交BD于 $Q$ ，若 $B C = B D$ ，求出 $\frac{Q D}{E D}$ 的值。

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