广东省深圳市南山区育才教育集团2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2024-11-18 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 一元二次方程x²-3x=0的解是（）

A、x₁=0，x₂=-3 B、x=-3 C、x=3 D、x₁=0，x₂=3

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2. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在 $0.6$ 左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（）

A、8 B、12 C、 $0.4$ D、 $0.6$

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3. 下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 有实数根，则 $k$ 的取值范围是( )

A、 $k \leq - \frac{9}{4}$ B、 $k \leq - \frac{9}{4} 且 k \neq 0$ C、 $k \geq - \frac{9}{4}$ D、 $k \geq - \frac{9}{4} 且 k \neq 0$

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5. 下列命题中，为真命题的是（）

A、三个角相等的四边形是矩形 B、对角线互相垂直相等的四边形是正方形 C、正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形 D、若一个四边形的对角线相等，则顺次连接这个四边形四边中点所得的四边形一定是菱形

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6. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x ，则所列方程正确的是（　　）

A、16（1+x）²＝23 B、23（1-x）²＝16 C、23-23（1-x）²＝16 D、23（1-2x）＝16

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7. 如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是（）米．

A、5 B、6 C、7 D、8

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8. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{21}$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点，将 $△ A B E$ 沿直线 $A E$ 翻折，点 $B$ 落在点 $F$ 处，连接 $C F$ ，则 $C F$ 的长为（　　）

A、8 B、 $\frac{42}{5}$ C、 $\frac{17}{2}$ D、 $\frac{9 \sqrt{21}}{5}$

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二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

9. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$ ，那么 $\frac{a - b}{b}$ 等于．

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10. 一个不透明的口袋中有1个黄色球和2个红色球，这些球除颜色外其余均相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸出红球的概率是．

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11. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美 $.$ 如图，点 $P 为 A B$ 的黄金分割点 $(A P > P B)$ ，如果 $A P$ 的长度为 $2 c m$ ，那么 $B P$ 的长度为 $c m .$ (结果保留根号)

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12. 如图，由点P(14，1)，A(a，0)，B(0，a)(0＜a＜14)确定的△PAB的面积为18，则a的值为．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 8$ ， $D$ 是 $B C$ 边上一点，且 $B D = A B$ ， $E$ 是 $A B$ 延长线上一点，连接 $E D$ 交 $A C$ 于 $F$ ，若 $∠ A D E = ∠ B$ ，则 $E F$ 的长度为．

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三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

14. 解下列方程：

(1)、 $(x - 3)^{2} = 4 x (x - 3)$ ；

(2)、 $x^{2} + 8 x - 9 = 0$ ．

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15. 某校在九年级随机抽取了 $20$ 名学生分成甲、乙两组，每组各 $10$ 人，进行“网络安全”知识竞赛 $.$ 把甲、乙两组的成绩进行整理分析 $($ 满分 $100$ 分，竞赛得分用 $x$ 表示： $90 \leq x \leq 100$ 为网络安全意识非常强， $80 \leq x < 90$ 为网络安全意识比较强， $x < 80$ 为网络安全意识一般 $) .$ 收集整理的数据制成了如下统计图表：

平均数
中位数
众数
甲组
$a$
$80$
$80$
乙组
$83$
$b$
$c$
根据以上信息回答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、已知该校九年级有 $500$ 人，估计九年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？

(3)、现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加全区比赛，用树状图或者列表法求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．

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16. 如图，平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别是 $A (1, - 1) 、 B (4, - 3) 、 C (4, - 1)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴成轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、在第一象限内，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 以点 $O$ 为位似中心并扩大到原来的 $3$ 倍的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、写出点 $A_{2} 、 B_{2}$ 的坐标．

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17. 龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．

(1)、求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)、若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？

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18. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $D 是 B C$ 边上一点，过点 $D$ 分别作 $D E / / A C 交 A B$ 于点 $E$ ，作 $D F / / A B 交 A C$ 于点 $F$ ，连接 $A D$ ．

(1)、下列条件：
$① D 是 B C$ 边的中点；
$② A D 是 △ A B C$ 的角平分线；
$③ 点 E$ 与点 $F$ 关于直线 $A D$ 对称．
请从中选择一个能证明四边形 $A E D F$ 是菱形的条件，并写出证明过程．

(2)、若四边形 $A E D F$ 是菱形，且 $A E = 4 ， C F = 2$ ，求 $B E$ 的长．

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19. 【阅读理解】
若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的根均为整数，则称方程为“快乐方程” $.$ 通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式 $b^{2} - 4 a c$ 一定为完全平方数 $.$ 现规定 $F (a, b, c) = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ 为该“快乐方程”的“快乐数” $.$ 例如“快乐方程” $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ 的两根均为整数，其“快乐数” $F (1, - 3, - 4) = \frac{4 \times 1 \times (- 4) - (- 3)^{2}}{4 \times 1} = \frac{25}{4}$ ，若有另一个“快乐方程” $p x^{2} + q x + r = 0 (p \neq 0)$ 的“快乐数” $F (p, q, r)$ ，且满足 $r \cdot F (a, b, c) = c \cdot F (p, q, r)$ ，则称 $F (a, b, c) 与 F (p, q, r)$ 互为“开心数”．

(1)、 “快乐方程” $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的“快乐数”为；

(2)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 m - 1) x + m^{2} - 2 m - 3 = 0 (m$ 为整数，且 $1 < m < 6)$ 是“快乐方程”，求 $m$ 的值，并求该方程的“快乐数”；

(3)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m x + m + 1 = 0 与 x^{2} - (n + 2) x + 2 n = 0 (m, n$ 均为整数 $)$ 都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，请直接写出 $m ， n$ 的值．

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20. 综合与实践

在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．

【操作探究】

“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：

第 $1$ 步：如图 $1$ 所示，先将正方形纸片 $A B C D$ 对折，使点 $A$ 与点 $B$ 重合，然后展开铺平，折痕为 $E F$ ；

第 $2$ 步：将 $B C$ 边沿 $C E$ 翻折到 $G C$ 的位置；

第 $3$ 步：延长 $E G 交 A D$ 于点 $H$ ，则点 $H 为 A D$ 边的三等分点．

证明过程如下：连接 $C H$ ，

$∵$ 正方形 $A B C D 沿 C E$ 折叠，

$∴ ∠ D = ∠ B = ∠ C G H = 90 ° ， ①$ ▲ ，

又 $∵ C H = C H$ ，

$∴ △ C G H ≌ △ C D H$ ，

$∴ G H = D H$ ．

由题意可知 $E 是 A B$ 的中点，设 $A B = 6 ($ 个单位 $) ， D H = x$ ，则 $A E = B E = E G = 3$ ，

在 $R t △ A E H$ 中，可列方程： $②$ ▲ ， $($ 方程不要求化简 $)$

解得： $D H = ③$ ▲ ，即 $H 是 A D$ 边的三等分点．

“破浪”小组是这样操作的：

第 $1$ 步：如图 $2$ 所示，先将正方形纸片对折，使点 $A$ 与点 $B$ 重合，然后展开铺平，折痕为 $E F$ ；

第 $2$ 步：再将正方形纸片对折，使点 $B$ 与点 $D$ 重合，再展开铺平，折痕为 $A C$ ，沿 $D E$ 翻折得折痕 $D E 交 A C$ 于点 $G$ ；

第 $3$ 步：过点 $G$ 折叠正方形纸片 $A B C D$ ，使折痕 $M N / / A D$ ．

【过程思考】

(1)、“乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是

$①$ ：， $②$ ：， $③$ ：；

(2)、结合“破浪”小组操作过程，判断点

M

是否为

A B

边的三等分点，并证明你的结论；

(3)、【拓展提升】

如图 $3$ ，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 5 ， B D = 6 ， E 是 B D$ 上的一个三等分点，记点 $D$ 关于 $A E$ 的对称点为 $D'$ ，射线 $E D'$ 与菱形 $A B C D$ 的边交于点 $F$ ，请直接写出 $D' F$ 的长．

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	平均数	中位数	众数
甲组	$a$	$80$	$80$
乙组	$83$	$b$	$c$