广东省深圳市33校联考2024-2025学年八年级上学期期中素养数学试题

试卷更新日期：2024-11-18 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项涂在答题卡上）

1. 在 $- 2$ ， $- \sqrt{3}$ ， 0，1这四个数中，最小的数是（）

A、 $- 2$ B、 $- \sqrt{3}$ C、0 D、1

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2. 9的算术平方根是（）

A、 $\pm 3$ B、3 C、 $\pm 9$ D、9

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3. 下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（）

A、2，3，4 B、6，8，10 C、5，12，13 D、7，24，25

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4. 在平面直角坐标系中，点 $M (- 2, 3)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标为（）

A、 $(2, 3)$ B、 $(2, - 3)$ C、 $(3, - 2)$ D、 $(- 2, - 3)$

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5. 2024年巴黎奥运会见证了中国体育代表团创造夏奥会境外参赛最佳战绩.如图所示是巴黎部分景点的平面示意图，每个小正方形的边长表示1个单位长度，如果将凯旋门的位置记作 $(- 4, 4)$ ，卢浮宫的位置记作 $(3, - 2)$ ，那么埃菲尔铁塔的位置是（）

A、 $(3, 3)$ B、 $(- 3, 3)$ C、 $(- 3, - 3)$ D、 $(- 4, - 3)$

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6. 一次函数 $y = k x + b$ 的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $b < 0$ B、若 $A (1, y_{1})$ ， $B (3, y_{2})$ 两点在该函数图象上，则 $y_{1} < y_{2}$ C、方程 $k x + b = 0$ 的解是 $x = 2$ D、一次函数的表达式为 $y = - \frac{1}{2} x + 2$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点，过点 $D$ 作 $E D ⊥ A B$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，则 $A E$ 的长为（）

A、 $\frac{25}{4}$ B、6 C、5 D、 $\frac{24}{5}$

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8. 如图1所示，在甲、乙两地之间有一车站丙（离乙地较近），一辆货车从甲地出发经丙站驶往乙地，一辆轿车从乙地出发经丙站驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，图2分别是货车、轿车行驶时离丙站的路程 $y (k m)$ 与行驶时间 $x (h)$ 之间的函数图象.则下列说法错误的是（）

A、货车的速度为 $60 k m / h$ B、 $a = 120$ C、当 $x = \frac{18}{7} h$ 时，两车相遇 D、当 $x = \frac{3}{2} h$ 时，轿车刚好到达丙车站

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二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）

9. 若正比例函数 $y = (2 - k) x$ 的图象经过第一、三象限，请你写出一个符合上述条件的 $k$ 的值：.

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10. 在平面直角坐标系中，点 $M (m + 3, 2 m + 4)$ 在 $y$ 轴上，则点 $M$ 的坐标是.

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11. 如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为“指距”.研究表明，一般情况下人的身高 $y (c m)$ 与指距 $x (c m)$ 满足一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ ，若人的身高为 $160 c m$ 时，指距为 $20 c m$ ；当人的身高为 $169 c m$ 时，指距为 $21 c m$ .篮球运动员姚明的身高为 $226 c m$ ，则据此估计他的指距是cm.（结果精确到 $0.1 c m$ ）

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12. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 2$ ， $B C = 3$ ，以三角形各边为直径作半圆，其中两半圆交 $A B$ 于点 $M$ ，阴影部分面积分别记作 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，则 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 之间应满足的等式是.

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $M$ ， $N$ 分别在 $A B$ ， $A C$ 边上，连接 $M N$ ，将 $△ A M N$ 沿 $M N$ 翻折，点 $A$ 的对应点 $D$ 恰好落在 $B C$ 的延长线上，且 $∠ B D M = ∠ N D M$ ，连接 $A D$ ，若 $A D = \frac{9}{2} \sqrt{5}$ ， $C D = \frac{9}{2}$ ，则 $\frac{B D}{A B} =$ .

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三、解答题（本大题共7小题，共61分）

14. 计算：

(1)、 $\frac{1}{3} \sqrt{18} - \frac{3}{4} \sqrt{32}$ ；

(2)、 $\frac{\sqrt{20} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \sqrt[3]{- 8} + | - \sqrt{3} |$ .

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15. 下面是小明同学计算 $\sqrt{\frac{4}{3}} - \frac{1}{2} (\sqrt{12} - \sqrt{75})$ 的过程，请认真阅读并完成相应的任务，
解： $\sqrt{\frac{4}{3}} - \frac{1}{2} (\sqrt{12} - \sqrt{75})$
$= \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2} (2 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3})$ 第一步
$= \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} - \frac{1}{2} \times 5 \sqrt{3}$ 第二步
$= \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} - \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ 第三步
$= \frac{4 \sqrt{3}}{6} - \frac{6 \sqrt{3}}{6} - \frac{15 \sqrt{3}}{6}$ 第四步
$= - \frac{17 \sqrt{3}}{6}$ 第五步
任务一：小明同学的解答过程从第 ▲ 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ▲ .
任务二：请你写出正确的计算过程.

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16. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (0, 1)$ ， $B (2, 0)$ ， $C (4, 3)$ .

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ D E F$ ；

(2)、 $△ D E F$ 的面积是；

(3)、已知 $P$ 为 $y$ 轴上一点，若 $△ A B P$ 的面积为4，则点 $P$ 的坐标为.

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17. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”数形结合是解决数学问题的重要思想方法.数轴是数形结合的产物，用数轴上的点可以直观地表示实数，从而建立起“数”与“形”之间的联系.

(1)、如图1，点 $O$ 是原点，点 $A$ 对应的实数为 $- 2$ ，过点 $A$ 作 $A B$ 垂直于数轴，且 $A B = 1$ ，连接 $O B$ ，以 $O$ 为圆心， $O B$ 长为半径画弧，交数轴于点 $C$ ，那么点 $C$ 对应的实数为；

(2)、在（1）的条件下，若将线段 $O C$ 向右平移，使得点 $O$ 对应的实数为1，那么此时点 $C$ 对应的实数为；

(3)、如图2，点 $A$ 对应的实数是3，射线 $A B$ 垂直数轴于点 $A$ ，请在数轴上作出 $\sqrt{10} - 2$ 对应的点 $M$ .（要求：尺规作图并保留作图痕迹）

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18. 小聪发现美宜佳超市装的是自动门，自动门上方装有一个感应器，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开.如图，点 $A$ 处装着一个感应器，感应器的最大感应距离恰好等于它离地的高度 $A B$ ，已知小聪的身高为1.8米，当他走到离门2.4米时（ $B C = 2.4$ 米），感应门自动打开，即 $A B = A D$ ，求感应器的离地高度 $A B$ 为多少米？

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19. 类比推理是根据一类事物所具有的某种属性，推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法.著名数学家波利亚认为“类比就是一种形似”.类比推理思想在初中代数推理学习中也被广泛应用.
观察下列等式： $\frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ .

(1)、【特例感知】
根据上述特征，计算： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} =$ .

(2)、【尝试类比】
已知一次函数 $y = - \frac{m + 2}{m} x + \frac{2}{m}$ （ $m$ 为正整数）与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，设 $R t △ A O B$ 的面积为 $S_{m}$ .
① $S_{2} =$ ▲ ；
②求 $S_{2} + S_{4} + S_{6} + \cdot \cdot \cdot + S_{2024}$ 的值.

(3)、【类比迁移】
计算： $\frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \frac{1}{1 + 2 + 3 + 4} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{1 + 2 + 3 + \cdot \cdot \cdot + n} =$ .

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20. 创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 图象的平移实际上是图象上每个点沿着相同的方向平移，平移前后两个对应点之间的距离叫做平移距离.

(1)、【探究发现】
以一次函数 $y = x + 1$ 如何平移得到一次函数 $y = x + 5$ 为例进行探究.
①请在平面直角坐标系中，画出一次函数 $y = x + 1$ 的图象，与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ；
②观察图象发现，将点 $A$ 、点 $B$ 分别向上平移 ▲ 个单位，平移后的点在直线 $y = x + 5$ 上.事实上，将一次函数 $y = x + 1$ 图象上的每个点按上述方式平移，平移后的点都在直线 $y = x + 5$ 上，平移距离为4个单位.
③请你尝试再写出另一种点的平移方式：将一次函数 $y = x + 1$ 图象上的点向 ▲ 平移，平移距离为 ▲ 个单位，可得直线 $y = x + 5$ .
④若要使得平移距离有最小值，点 $A$ ， $B$ 应该如何平移，请在平面直角坐标系中，作出平移后的对应点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ .

(2)、【深入探究】
将一次函数 $y = x + b_{1}$ 按平移距离最小值的方式平移到 $y = x + b_{2}$ ，则平移距离为（用 $b_{1}$ ， $b_{2}$ 表示）.

(3)、【拓展升华】
如图，已知正方形 $A B C D$ 各边平行于坐标轴，且边长为 $4 \sqrt{2}$ ，点 $A$ 坐标为 $(2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$ ，若线段 $P Q = 2$ ，且点 $P$ ， $Q$ 在直线 $y = - x + 8$ 上，平移线段 $P Q$ 使得线段端点恰好落在正方形 $A B C D$ 的边上，则平移距离的最小值为.

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