【提升版】北师大版数学八年级上册5.3应用二元一次方程组——鸡免同笼同步练习

试卷更新日期：2024-11-18 类型：同步测试

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一、选择题

1. 我国民间流传着许多趣味算题，他们多以顺口溜的形式表达，其中 $《$ 孙子算经 $》$ 中记载了这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少二梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有 $x$ 个老头， $y$ 个梨，则可列方程组为（）

A、 $\{\begin{array}{l} x - 1 = y \\ 2 x + 2 = y \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x - 1 = y \\ 2 x - 2 = y \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x + y = 1 \\ 2 x - y = 2 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x + 1 = y \\ 2 x - 2 = y \end{array}$

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2. 中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘.问有多少人，多少辆车？设共有x人，y辆车，可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 3 (y - 2) = x \\ x = 2 y - 9 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 3 (y + 2) = x \\ x = 2 y + 9 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 3 (y - 2) = x \\ x = 2 y + 9 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 3 (y + 2) = x \\ x = 2 y - 9 \end{array}$

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3. 《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛。”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，若设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 5 x + y = 3 \\ x + 5 y = 2 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + 5 y = 3 \\ 5 x + y = 2 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 3 x + y = 5 \\ x + 5 y = 2 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 3 x + y = 5 \\ x + 5 y = 3 \end{array}$

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4. 我国明代数学家程大位所著的《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头，问大、小和尚各有多少人？若大和尚有 $x$ 人，小和尚有 $y$ 人，则下列方程或方程组中:① ${\begin{cases} x + y = 100 ， \\ \frac{1}{3} x + 3 y = 100 ； \end{cases}$ ② ${\begin{cases} x + y = 100 ， \\ 3 x + \frac{1}{3} y = 100 ； \end{cases}$ ③ $3 x + \frac{1}{3} (100 - x) = 100 ；$ ④ $\frac{1}{3} (100 - y) + 3 y = 100.$ 正确的是（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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5. 《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图①②所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项.把图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是 $\{\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 19 ， \\ x + 4 y = 23 . \end{array}$ 类似地，图②所示的算筹图我们可以表述为(　　)

A、 $\{\begin{array}{l} 2 x + y = 11 ， \\ 4 x + 3 y = 27 \end{array}$ B、 $\{\begin{matrix} 2 x + y = 11 ， \\ 4 x + 3 y = 22 \end{matrix}$ C、 $\{\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 19 ， \\ x + 4 y = 23 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} 2 x + y = 6 ， \\ 4 x + 3 y = 27 \end{array}$

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6. 玩具车间每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，若甲种玩具零件1个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在60天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零件 $x$ 天，乙种玩具零件 $y$ 天，则有（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 60 \\ 24 x = 12 y \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 60 \\ 12 x = 24 y \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 60 \\ 2 \times 24 x = 12 y \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 60 \\ 24 x = 2 \times 12 y \end{array}$

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7. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就.其中记载：今有共买物，人出八盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱.问人数、物价各是多少？设合伙人数为 $x$ 人，物价为 $y$ 钱，则下列方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} 8 x - y = 3 \\ y - 7 x = 4 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y - 8 x = 3 \\ y - 7 x = 4 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} y - 8 x = 3 \\ 7 x - y = 4 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 8 x - y = 3 \\ 7 x - y = 4 \end{array}$

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8. 某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板制作如图②所示的A、B两种长方体形状的无盖纸盒.现有正方形纸板120张，长方形纸板360张，刚好全部用完，则下列结论中正确的个数是 (　　)
①甲同学：设制作A型盒个数为x，根据题意可得4x+3× $\frac{120 - x}{2}$ =360；②乙同学：设制作B型盒用正方形纸板的张数为m，根据题意可得3× $\frac{m}{2}$ +4(120-m)=360；③制作A型盒72个；④制作B型盒需正方形纸板共48张.

A、1　　　　 B、2　　　　 C、3　　　　 D、4

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二、填空题

9. 我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：
“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组．

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10. 用白铁皮制作罐头盒，每张铁皮可制作盒身 $16$ 个或者盒底 $40$ 个，一个盒身和两个盒底配成一套罐头盒，现有 $36$ 张白铁皮，用张制作盒身，张制作盒底，能使盒身和盒底恰好配套．

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11. 《九章算术》中记载了一个问题，“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有人，该物品价值元．

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12. 方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两.问牛、羊各直金几何？” 译文为：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两.问每头牛、每只羊各值金多少两”.若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为.

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13. $($ 我国古代问题 $)$ 有大小两种盛酒的桶，已知 $5$ 个大桶加上 $1$ 个小桶可以盛酒 $3$ 斛 $($ 斛是古代一种容量单位 $)$ ， $1$ 个大桶加上 $5$ 个小桶可以盛酒 $2$ 斛，那么 $1$ 个大桶加上 $1$ 个小桶可以盛酒斛．

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三、解答题

14. 为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：

甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
45
60
租金（元/辆）
200
300

(1)、参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？

(2)、若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？

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15. 某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图 $1$ 所示的长方形和正方形纸板 $($ 长方形的宽与正方形的边长相等 $)$ 加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）

(1)、若该厂购进正方形纸板 $1000$ 张，长方形纸板 $2000$ 张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；

(2)、该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板 $80$ 张，长方形纸板 $a$ 张，全部加工成上述两种纸盒，且 $150 < a < 171$ ，试求在这一天加工两种纸盒时， $a$ 的所有可能值．

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16. 温州市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数
1～39套（含39套）
40～79套（含79套）
80套及以上
每套服装的价格
80元
70元
60元
经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费5600元．请回答以下问题：

(1)、如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？

(2)、甲、乙两个乐团各有多少名学生？

(3)、现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．

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17. 我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
根据以上译文，提出以下两个问题：

(1)、求每头牛、每只羊各值多少两银子？

(2)、若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能.

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18. 今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨.某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满.

(1)、1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨?

(2)、请你帮该物流公司设计租车方案；

(3)、若A型车每辆需租金每次100元，B型车租金每次120元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.

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19. 某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了 25 块相同的金属板材，已知每块金属板材可以有 $A ， B ， C$ 三种裁剪方式（如图）． $A$ 方式：裁剪成 9 个圆形底面和 1 个侧面． $B$ 方式：裁剪成 4 个侧面． $C$ 方式：裁剪成 12 个圆形底面．已知 2 个圆形底面和 1 个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，且要求圆形底面与侧面恰好配套．现已有 4 块金属板材按 $C$ 方式裁前．

(1)、设有 $x$ 块金属板材按 $A$ 方式裁剪， $y$ 块金属板材按 $B$ 方式裁剪，则可以裁剪出圆形底面共（用含 $x$ 的代数式表示）个，侧面共（用含 $x ， y$ 的代数式表示）个．

(2)、这批金属板材最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？

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20. 阅读下列材料：
《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”

译文：每一只公鸡值五文钱，每一只母鸡值三文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？

结合你学过的知识，解决下列问题：

(1)、若设母鸡有x只，公鸡有y只，
① 小鸡有只，买小鸡一共花费文钱；（用含x ， y的式子表示）

②根据题意，列出一个含有x ， y的方程：；

(2)、若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只?

(3)、除了问题（2）中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解．

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	甲型客车	乙型客车
载客量（人/辆）	45	60
租金（元/辆）	200	300

购买服装的套数	1～39套（含39套）	40～79套（含79套）	80套及以上
每套服装的价格	80元	70元	60元

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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